Question

【題目】如圖1所示是某游樂場的過山車，現將其簡化為如圖2所示的模型：傾角、長的直軌道AB與半徑的光滑圓弧軌道BCDEF在B處平滑連接，C、F為圓軌道最低點，D點與圓心等高，E為圓軌道最高點；圓軌道在F點與水平軌道FG平滑連接整條軌道寬度不計。現將一質量的滑塊可視為質點從A端由靜止釋放。已知滑塊與AB段的動摩擦因數，與FG段的動摩擦因數，，。

求滑塊到達B點時的動能；

求滑塊到達E點時對軌道的壓力；

若要滑塊能在水平軌道FG上停下，求FG長度的最小值x；

若改變釋放滑塊的位置，使滑塊第一次運動到D點時速度剛好為零，求滑塊從釋放到它第5次返回軌道AB上離B點最遠時，它在AB軌道上運動的總路程s。

Answer 1

【答案】（1）0.12J；（2）0.1N；（3）0.52m；（4）0.58m

【解析】

（1）滑塊由A點到達B點的過程中，重力做正功，摩擦力做負功，設B點速度為，且從A端由靜止釋放，根據動能定理可得：①

②

由①②代入數據可解得：；

（2）滑塊在BCDEF光滑圓弧軌道上做圓周運動，從B點到E點，設到達E點時速度為，根據動能定理可得：

③

且由軌道對滑塊的彈力N和重力提供向心力，則有：④

根據牛頓第三定律，軌道對滑塊的彈力N和滑塊對軌道的壓力是一對相互作用力，則有：⑤

由③④⑤帶入數據可解得：；

（3）在BCDEF圓弧軌道上只有重力做功，則從B點到F點，機械能守恒，則有：

⑥

滑塊在FG軌道上由于摩擦力的作用做勻減速運動，且最終停下，根據動能定理可得：⑦

由⑥⑦代入數據可解得：

（4）該變釋放滑塊的位置，設此時距離B點距離為，此時滑塊到達D點時速度剛好為零，根據動能定理有：

⑧

設從D點第一次返回到AB軌道上離B點最遠時到B點的距離為，根據動能定理有：

⑨

設從CD軌道第二次返回到AB軌道上離B點最遠時到B點的距離為，根據動能定理有：

(10)

設從CD軌道第三次返回到AB軌道上離B點最遠時到B點的距離為，根據動能定理有：(11)

設從CD軌道第四次返回到AB軌道上離B點最遠時到B點的距離為，根據動能定理有：(12)

設從CD軌道第五次返回到AB軌道上離B點最遠時到B點的距離為，根據動能定理有：(13)

滑塊從釋放到它第5次返回軌道AB上離B點最遠時，它在AB軌道上運動的總路程：

(14)

由⑧⑨(10)(11)(12)(13)(14)代入數據可解得：