Question

根據玻爾理論，電子繞氫原子核運動可以看作是僅在庫侖引力作用下的勻速圓周運動，已知電子的電荷量為e，質量為m，電子在第1軌道運動的半徑為r₁，靜電力常量為k。
（1）電子繞氫原子核做圓周運動時，可等效為環形電流，試計算電子繞氫原子核在第1軌道上做圓周運動的周期及形成的等效電流的大小；
（2）氫原子在不同的能量狀態，對應著電子在不同的軌道上繞核做勻速圓周運動，電子做圓周運動的軌道半徑滿足r_n=n²r₁，其中n為量子數，即軌道序號，r_n為電子處于第n軌道時的軌道半徑。電子在第n軌道運動時氫原子的能量E_n為電子動能與“電子-原子核”這個系統電勢能的總和。理論證明，系統的電勢能E_p和電子繞氫原子核做圓周運動的半徑r存在關系：E_p=-k（以無窮遠為電勢能零點）。請根據以上條件完成下面的問題。
①試證明電子在第n軌道運動時氫原子的能量E_n和電子在第1軌道運動時氫原子的能量E₁滿足關系式
②假設氫原子甲核外做圓周運動的電子從第2軌道躍遷到第1軌道的過程中所釋放的能量，恰好被量子數n=4的氫原子乙吸收并使其電離，即其核外在第4軌道做圓周運動的電子脫離氫原子核的作用范圍。不考慮電離前后原子核的動能改變，試求氫原子乙電離后電子的動能。

Answer 1

（1）（2）①證明過程見解析②

試題分析：（1）設電子繞氫原子核在第1軌道上做圓周運動的周期為，形成的等效電流大小為，根據牛頓第二定律有                   （2分）
則有                                     （1分）
又因為                                        （2分）
有                                      （1分）
（2）①設電子在第1軌道上運動的速度大小為v₁，根據牛頓第二定律有
                                           （1分）             
電子在第1軌道運動的動能                （1分）
電子在第1軌道運動時氫原子的能量即動能和勢能之和     （2分）
同理，電子在第n軌道運動時氫原子的能量（2分）
又因為    
則有  命題得證。                  （1分）
② 由①可知，電子在第1軌道運動時氫原子的能量
電子在第2軌道運動時氫原子的能量            （1分）
電子從第2軌道躍遷到第1軌道所釋放的能量（2分）
電子在第4軌道運動時氫原子的能量         （1分）
設氫原子電離后電子具有的動能為，根據能量守恒有
                                               （2分）
解得                              （1分）