Question

（2006?上海）辨析題：要求摩托車由靜止開始在盡量短的時間內走完一段直道，然后駛入一段半圓形的彎道，但在彎道上行駛時車速不能太快，以免因離心作用而偏出車道．求摩托車在直道上行駛所用的最短時間．有關數據見表格．

啟動加速度a1	4m/s2
制動加速度a2	8m/s2
直道最大速度v1	40m/s
彎道最大速度v2	20m/s
直道長度s	218m

某同學是這樣解的：要使摩托車所用時間最短，應先由靜止加速到最大速度 v₁=40m/s，然后再減速到v₂=20m/s，
t₁=

v1

a1

=…；  t₂=

v1-v2

a2

=…；   t=t₁+t₂
你認為這位同學的解法是否合理？若合理，請完成計算；若不合理，請說明理由，并用你自己的方法算出正確結果．

Answer 1

分析：直道的長度是一定的，當達到最大速度之后再減速的總的位移的大小要大于直道的長度，即摩托車不能達到最大的速度，否則達到彎道時就要偏出車道；
最短的時間應該是摩托車以最大的加速度加速之后接著以最大的加速度減速運動，達到彎道時的速度恰好為彎道最大速度v₂，根據加速和減速的位移的關系可以求得時間的大小．

解答：解：不合理．
因為按這位同學的解法可得 
t₁=

v1

a1

=10s，
t₂=

v1-v2

a2

=2.5s，
所以加速距離
s₁=

v1

2

t₁=200m，
s₂=

v1+v2

2

t2=75m，
總位移s₁+s₂=275m＞s．故不合理．
由上可知摩托車不能達到最大速度v₂，設滿足條件的最大速度為v，
則：

v2

2a1

+

v2- v 2 2

2a2

=s     
解得：v=36m/s 
又加速的時間為 t₁=

v

a1

=9s               
減速的時間為 t₂=

v-v2

a2

=2 s  
因此所用的最短時間 t=t₁+t₂=11s．

點評：摩托車先加速接著再減速，由位移的關系可以求得結果，解本題的關鍵是分析清楚摩托車的運動的過程．