Question

一個質量為M的雪橇靜止在水平雪地上，一條質量為m的愛斯基摩狗站在該雪橇  上．狗向雪橇的正后方跳下，隨后又追趕并向前跳上雪橇；其后狗又反復地跳下、追趕并跳上雪橇．狗與雪橇始終沿一條直線運動．若狗跳離雪橇時雪橇的速度為V，則此時狗相對于地面的速度為V+u（其中u為狗相對于雪橇的速度，V+u為代數和，若以雪橇運動的方向為正方向，則V為正值，u為負值）．設狗總以速度v追趕和跳上雪橇，雪橇與雪地間的摩擦忽略不計．已知v的大小為5m/s，u的大小為4m/s，M=30kg，m=10kg．
（1）求狗第一次跳上雪橇后兩者的共同速度的大小．
（2）求雪橇最終速度的大小和狗最多能跳上雪橇的次數．（供使用但不一定用到的對數值：lg 2=0.301，lg 3=0.477）

Answer 1

（1）設雪橇運動的方向為正方向．狗第1次跳下雪橇后雪橇相對地面的速度為V₁，則此時狗相對于地面的速度為（V+μ），
由于雪橇和地面之間的摩擦忽略不計，故狗和雪橇組成的系統水平向動量守恒，
根據動量守恒定律，有MV₁+m（V₁+u）=0…①
設狗第1次跳上雪橇時，雪橇與狗的共同速度為V₁’
由于此時狗和雪橇組成的系統水平向動量仍然守恒，則有  MV₁+mv=（M+m）V₁’…②
聯立①②兩式可得   

V

′1

=

-Mmu+(M+m)mv

(M+m)2

…③
將u=-4 m/s，v=5 m/s，M=30 kg，m=10 kg代入③式可得V₁’=2 m/s
（2）解法（一）
設雪橇運動的方向為正方向．狗第（n-1）次跳下雪橇后雪橇的速度為v_n-1，則狗第（n-1）次跳上雪橇后的速度V_n-1’，
滿足M V_n-1+mv=（M+m） V_n-1’…④
這樣，狗n次跳下雪橇后，雪橇的速度為V_n滿足
M V_n+m（V_n+u）=（M+m） V_n-1’…⑤
解得  Vn=(v-u)[1-(

M

M+m

)n-1]-

mu

M+m

(

M

M+m

)n-1
狗追不上雪橇的條件是    v_n≥v
可化為   (

M

M+m

)n-1≤

(M+m)u

Mu-(M+m)v

最后可求得 n≥1+

lg( Mu-(M+m)v (M+m)u )

lg( M+m M )

代入數據，得n≥3.41
故狗最多能跳上雪橇3次，雪橇最終的速度大小為 v₄=5.625 m/s
解法（二）：
設雪橇運動的方向為正方向．狗第i次跳下雪橇后，雪橇的速度為V_i′狗的速度為V_i+u；狗第i次跳上雪橇后，雪橇和狗的共同速度為V_i′，由動量守恒定律可得
第一次跳下雪橇：MV₁+m（V₁+u）=0…④
V1=-

mu

M+m

=1m/s
第一次跳上雪橇：MV₁+mv=（M+m）V₁’…⑤
 

V

′1

=

-Mmu+(M+m)mv

(M+m)2

第二次跳下雪橇：（M+m）V₁’=MV₂+m（V₂+u）…⑥
V2=

(M+m) V ′1 -mu

M+m

=3m/s
第二次跳上雪橇：MV₂+mv=（M+m）V₂’…⑦

V

′2

=

MV2+mv

M+m

第三次跳下雪橇：（M+m）V₂’=MV₃+m（V₃+u）…⑧
V3=

(M+m) V ′2 -mu

M+m

=4.5m/s
第三次跳上雪橇：（M+m）V₃=MV₃’+m（V₃’+u）…⑨

V

′3

=

(M+m)V3-mu

M+m

第四次跳下雪橇：（M+m）V₃’=MV₄+m（V₄+u）…⑩
V4=

(M+m) V ′3 -mu

M+m

=5.625m/s
此時雪橇的速度已大于狗追趕的速度，狗將不可能追上雪橇．
因此，狗最多能跳上雪橇3次．雪橇最終的速度大小為5.625m/s．