Question

如圖所示，2011年9月29日21時16分“天宮一號”從甘肅酒泉衛星發射中心發射升空，經過兩次軌道控制，天宮一號已從入軌時的橢圓軌道進入在軌測試的近圓軌道，為后續與“神舟八號”交會對接奠定了基礎．若天宮一號的測試軌道為r₁，繞地球做勻速圓周運動的速度為v₁；又已知某衛星繞地球做勻速圓周運動的速度為v₂，軌道半徑為r₂，萬有引力常量為G．根據以上信息，寫出以下物理量的表達式：
（1）天宮一號的向心加速度；
（2）天宮一號”與衛星在各自軌道上運行的周期之比；
（3）地球的質量．

Answer 1

分析：（1）根據向心加速度公式a=

v2

r

列式求解；
（2）周期等于旋轉一周所用的時間；
（3）根據萬有引力提供向心力列式求解．

解答：解：（1）根據向心加速度公式a=

v2

r

，有：
天宮一號的向心加速度

a向= v12 r12

；
（2）周期等于旋轉一周所用的時間，故：
天宮一號與衛星在各自軌道上運行的周期之比為

T1 T2 = 2πr1 v1 2πr2 v2 = r1v2 r2v1

；
（3）天宮一號做勻速圓周運動的向心力有萬有引力提供，有：

GMm

r12

=m

v12

r1

(或

GMm

r22

=m

v22

r2

)
解得：M=

v12r1

G

(或M=

v22r2

G

)
答：（1）天宮一號的向心加速度為

v12 r12

；
（2）天宮一號與衛星在各自軌道上運行的周期之比為

r1v2 r2v1

；
（3）地球的質量為

v12r1

G

(或

v22r2

G

)．

點評：本題關鍵是明確天宮一號飛船的運動規律和向心力來源，然后根據向心力公式列式求解．