Question

（2011?吉安模擬）2007年10月24日，中國首顆探月衛星“嫦娥一號”在西昌衛星發射中心發射升空，準確進入預定軌道．隨后，“嫦娥一號”經過變軌和制動成功進入環月軌道．如圖所示，陰影部分表示月球，設想飛船在距月球表面高度為3R的圓形軌道Ⅰ上作勻速圓周運動，到達A點時經過暫短的點火變速，進入橢圓軌道Ⅱ，在到達軌道Ⅱ近月點B點時再次點火變速，進入近月圓形軌道Ⅲ，而后飛船在軌道Ⅲ上繞月球作勻速圓周運動．已知月球半徑為R，月球表面的重力加速度為g₀，引力常量為G．不考慮其它星體對飛船的影響，求：
（1）飛船在軌道Ⅰ、Ⅲ的速度之比．
（2）飛船在軌道Ⅰ上的運動周期．
（3）飛船從軌道Ⅱ上遠月點A運動至近月點B所用的時間．

Answer 1

分析：根據萬有引力提供向心力，分析飛船環月運行時的線速度、周期、向心加速度跟半徑存在什么關系．本題先考慮飛船為何繞月球做勻速圓周運動，后用萬有引力提供向心力列方程求飛船周期，再利用開普勒第三定律求時間．

解答：解：（1）在軌道I有G

Mm

(4R)2

=m

v 2 1

4R

          （1）
在軌道II上有G

Mm

R2

=m

v 2 m

R

                  （2）
（1）÷（2）得：

v1

vm

=

1

2

（2）設飛船在軌道I上的運動周期為T₁，在軌道I有
G

Mm

(4R)2

=m

4π2

T 2 1

4R                （3）
在月球表面有 G

Mm

R2

=mg1        （4）
聯立（3）（4）解得：T1=16π

R g1

    （5）
（3）設飛船在軌道II上的運動周期T₂，軌道II的半長軸為2.5R，根據開普勒定律得

T 2 2

(2.5R)3

=

T 2 1

(4R)3

                  （6）
由（5）（6）可解得：T2=7.9π

R g1

飛船從A到B的飛行時間為t=

T2

2

=4π

R g1

答：（1）飛船在軌道Ⅰ、Ⅲ的速度之比為1：2；
（2）飛船在軌道Ⅰ上的運動周期T1=16π

R g1

；
（3）飛船從軌道Ⅱ上遠月點A運動至近月點B所用的時間=4π

R g1

．

點評：本題主要考查萬有引力定律的應用，開普勒定律的應用．同時根據萬有引力提供向心力列式計算．