Question

如圖所示，半徑R=0.3m 的光滑圓弧軌道與粗糙斜面相切于B點(diǎn)，斜面最高點(diǎn)C距地面的高度h=0.15m，質(zhì)量 M=0.04kg 的小物塊從圓弧最低點(diǎn)A，以大小v=2m/s、方向向左的初速度開始運(yùn)動，到斜面最高點(diǎn)C時速度為零．此時恰被從P點(diǎn)水平射出質(zhì)量m=0.01kg彈丸擊中，已知彈丸進(jìn)人物塊時速度方向沿著斜面，并立即停在物塊內(nèi)，P點(diǎn)距地面的高度H=1.95m彈丸的水平初速度v₀=8m/s，取 g=10m/s²．求：
（1）斜面與水平地面的夾角θ； （可用反三角函數(shù)表示）
（2）物塊回到 A 點(diǎn)時對軌道的壓力大小；
（3）物塊沿圓弧軌道運(yùn)動，在所能到達(dá)的最高點(diǎn)處加速度大小．

Answer 1

分析：1、根據(jù)平拋運(yùn)動規(guī)律和三角函數(shù)關(guān)系求出彈丸做平拋運(yùn)動的時間和斜面與水平地面的夾角，
2、子彈射入后，由動量守恒列出等式，物塊從A到C的過程中根據(jù)動能定理列出等式，由能量守恒求出物塊從C到A的速度，再由牛頓第二定律求解．
3、對整體運(yùn)用動能定理列出等式解答．

解答：解：（1）設(shè)彈丸做平拋運(yùn)動的時間為t，則有：
H-h=

1

2

gt²
解得：t=0.6s．                                
此時彈丸的速度與水平方向夾角等于斜面傾角θ，豎直分速度為 v_y，則有：
 v_y=gt=6m/s                                                
tanθ═

vy

v0

=

3

4

∴θ=arctan

3

4

=37°
（2）設(shè)射入前子彈的速度為v₁，則有：v₁=

v 2 0 +v 2 y

=10m/s      
子彈射入后，木塊速度為v₂，由動量守恒得：
 m v₁=（m+M）v₂   
解得：v₂=2m/s                           
設(shè)物塊與斜面的動摩擦因數(shù)為μ，斜面長為L，物塊從A到C的過程中根據(jù)動能定理得：
-mgh-μmgLcosθ=0-

1

2

mv²                                    
物塊從C到A的速度為v₃，由能量守恒得：
（m+M）gh-μ（m+M）gLcosθ=

1

2

（m+M）（v₃²- v₂²）                   
 解得：v₃=

4gh +v 2 2 -v2

=

6

m/s                        
設(shè)物塊回到A點(diǎn)時軌道對它的支持力為N，由牛頓第二定律得：
N-（m+M）g=（m+M）

v 2 3

R

 
解得：N=1.5N                    
（3）設(shè)物塊在最高點(diǎn)處速度為零，距地面的高度為h₁，由動能定理得：

1

2

（m+M）v₃²=（m+M）gh₁                                
解得：h₁=0.3m=R                                     
所以假設(shè)成立，軌道對物塊無壓力，物塊只受重力作用，所以加速度為：
a=g=10m/s²                        
答：（1）斜面與水平地面的夾角是37°；
（2）物塊回到 A 點(diǎn)時對軌道的壓力大小是1.5N；
（3）物塊沿圓弧軌道運(yùn)動，在所能到達(dá)的最高點(diǎn)處加速度大小是10m/s²．

點(diǎn)評：該題考查了平拋運(yùn)動的規(guī)律、牛頓第二定律、動量守恒、動能定理等知識點(diǎn)，關(guān)鍵要清楚物體的運(yùn)動情況，選擇對應(yīng)的物理規(guī)律，難度較大．