Question

在直角坐標系xOy中，有一半徑為R的圓形勻強磁場區域，磁感應強度為B，磁場方向垂直xOy平面指向紙面內，該區域的圓心坐標為（R，0），如圖所示，有一個質量為m、帶電荷量為-q的離子，由靜止經電場加速后從點（0，

R

2

）沿x軸正方向射入磁場，離子從射入到射出磁場通過了該磁場的最大距離，不計重力影響．求：
（1）離子在磁場區域經歷的時間；   
（2）加速電場的加速電壓U．

Answer 1

分析：（1）帶電粒子在勻強磁場中在洛倫茲力作用下，做勻速圓周運動．所以由幾何關系可確定運動圓弧的半徑與已知長度的關系，從而確定圓磁場的圓心，并能算出粒子在磁場中運動時間．
（2）粒子獲得的動能是加速電場提供，根據動能定理即可求得加速電場的電壓．

解答：解：（1）如圖所示，設離子從M點射入磁場的速度為v．依題意，在磁場中通過最大距離應是過M點的直徑MRN．由于離子在磁場中運動受洛倫茲力作用，運動軌跡是以MRN為弦長的圓弧并從N點射出磁場．

設離子從M點入射時速度方向與MR的夾角為α，α=arcsin

R 2

R

=

π

6

 離子在磁場力作用下，速度方向偏轉2α=

π

3

設離子在磁場中做圓周運動的半徑為r，則qvB=

mv2

r

離子在磁場中運動的周期：T=

2πr

v

=

2πm

qB

所以離子在磁場中運動的時間t=

T

6

=

1

6

×

2πm

qB

=

πm

3qB

（2）設離子在磁場中做圓周運動的半徑為r，則qvB=

mv2

r

由幾何關系得r=2R
粒子在電場中加速，由動能定理，有qU=

1

2

mv2
聯立以上各式解得：U=

2B2R2q

m

．
答：（1）離子在磁場區域經歷的時間是

πm

3qB

；   
（2）加速電場的加速電壓是

2B2R2q

m

．

點評：通過題意剛好得出帶電粒子在電場中做類平拋運動，這是本題的突破點．當得出這一條件時，則粒子在磁場中運動軌跡可以確定，從而求出圓磁場的圓心位置，再運用平拋運動規律來運動分解處理．