Question

【題目】某游樂園入口旁有一鯨魚噴泉，在水泵作用下會從鯨魚模型背部噴出豎直向上的水柱，將站在沖浪板上的玩偶模型托起，懸停在空中，伴隨著音樂旋律，玩偶模型能夠上下運動，非常引人駐足，如圖所示。這一景觀可做如下簡化，假設水柱從橫截面積為S的噴口持續以速度v0豎直向上噴出；設同一高度水柱橫截面上各處水的速率都相同，沖浪板底部為平板且其面積大于水柱的橫截面積，保證所有水都能噴到沖浪板的底部。水柱沖擊沖浪板前其水平方向的速度可忽略不計，沖擊沖浪板后，水在豎直方向的速度立即變為零，在水平方向朝四周均勻散開。已知玩偶模型和沖浪板的總質量為M，水的密度為ρ，重力加速度大小為g，空氣阻力及水的粘滯阻力均可忽略不計。

（1）試計算玩偶模型在空中懸停時，水對沖浪板的沖擊力大小和噴泉單位時間內噴出的水的質量；

（2）實際上當我們仔細觀察發現噴出的水柱在空中上升階段并不是粗細均勻的，而是在豎直方向上一端粗一端細，請你分析上升階段的水柱是上端較粗還是下端較粗，并說明水柱呈現該形態的原因。

（3）由于水柱頂部的水與沖浪板相互作用的時間很短，因此在分析水對沖浪板的作用力時可忽略這部分水所受的重力作用。求玩偶在空中懸停時，其底面相對于噴口的高度。

Answer 1

【答案】（1） （2）水柱上端較粗，下端較細。任意橫截面流速相等，下端水柱速度較上端水柱的速度大，由Q=Sv,（S為水柱截面積，v為水柱中水的流速）可知，上端水柱截面較大。 （3）

【解析】（1）①玩偶處在空中靜止，此時受重力與水向上的推力，由二力平衡可知F＝Mg

②設時間內，從噴口噴出的水的體積為，質量為，

則，

由以上兩式得，單位時間內從噴口噴出的水的質量為

（2）水柱上端較粗，下端較細。任意橫截面流速相等，下端水柱速度較上端水柱的速度大，由Q=Sv,（S為水柱截面積，v為水柱中水的流速）可知，上端水柱截面較大。

（3）設玩具懸停時其底面相對于噴口的高度為，水從噴口噴出后到達玩具底面時的速度大小為。

對于時間內噴出的水，有能量守恒定律得

在高度處， 時間內噴射到玩具底面的水沿豎直方向的動量變化量的大小為

設水對玩具的作用力的大小為F，根據動量定理有

由于玩具在空中懸停，由力的平衡條件得

聯立以上各式得