Question

（2007?淮安模擬）我國已啟動“嫦娥工程”，并于2007年10月24日成功發射繞月運行的探月衛星“嫦娥Ⅰ號”．設該衛星可貼近月球表面運動且軌道是圓形的，已知地球半徑約是月球半徑的4倍，地球質量約是月球質量的81倍，地球近地衛星的周期約為84min，地球表面重力加速度g取10m/s²，求：
（1）繞月表面做勻速圓周運動的“嫦娥Ⅰ號”，其運動周期約是多大？
（2）設想宇航員在月球表面上做自由落體實驗，某物體從離月球表面20m處自由下落，約經多長時間落地？

Answer 1

分析：1、地球近地衛星受地球的萬有引力提供向心力

GMm

R2

=m(

2π

T0

)2R，探月衛星它受月球的萬有引力提供向心力

GM1m1

R12

=m1(

2π

T1

)2R1，兩式相比，可以求出“嫦娥Ⅰ號”的運動周期T₁．
2、根據星球表面的物體受到的重力等于萬有引力，在地球上有mg=G

Mm

R2

，在月球上有m1g1=G

M1m1

R12

，兩式相比，計算出月球表面重力加速度g₁．再根據自由落體運動的規律h=

1

2

at12，可計算出落體運動的時間．

解答：解：設地球質量為M，半徑為R，近地衛星的質量為m，周期為T₀，它受地球的萬有引力提供向心力，則

GMm

R2

=m(

2π

T0

)2R
設月球質量為M₁，半徑為R₁，探月衛星的質量為m₁，周期為T₁，它受月球的萬有引力提供向心力，則

GM1m1

R12

=m1(

2π

T1

)2R1

T1

T0

=

M  M1 ?( R1 R  )3

=

81 1 × 1 64

=

9

8

T₁=94.5min
（2）設地球表面重力加速度g，月球表面重力加速度g₁，自由下落高度為h，
根據星球表面的物體受到的重力等于萬有引力，在地球和月球上都有
mg=G

Mm

R2

m1g1=G

M1m1

R12

下式比上式得：

g1

g

=

M1

M

?(

R

R1

)2=

1

81

×

16

1

所以g1=

160

81

m/s2
根據自由落體運動的規律
h=

1

2

at12
t1=

2h  g1

=

2×20 160 81

s=4.5s
答：（1）繞月表面做勻速圓周運動的“嫦娥Ⅰ號”，其運動周期約是94.5min．
（2）設想宇航員在月球表面上做自由落體實驗，某物體從離月球表面20m處自由下落，約經4.5s落地．

點評：本題要求掌握天體運動中兩個重要的關系；①環繞天體繞中心天體做勻速圓周運動所需要的向心力由萬有引力提供，②星球表面的物體受到的重力等于萬有引力．同時還要知道自由落體運動的規律．