Question

如圖所示，半徑為r，質量不計的圓盤盤面與地面相垂直，圓心處有一個垂直盤面的光滑水平固定軸O，在盤的最右邊緣固定一個質量為m的小球A，在O點的正下方離O點

r

2

處固定一個質量也為m的小球B．放開盤讓其自由轉動，問：
（1）當A球轉到最低點時，兩小球的重力勢能之和減少了多少？
（2）A球轉到最低點時的線速度是多少？
（3）在轉動過程中半徑OA向左偏離豎直方向的最大角度是多少？

Answer 1

（1）當A球轉到最低點時，A的重力勢能減小mgr，B的重力勢能增加mg

r

2

，所以兩小球的重力勢能之和減少為△E_P=mgr-mg

r

2

=

1

2

mgr
（2）取圓盤最低處的水平面勢能為零，
由機械能守恒定律可得：mgr=mg

r

2

+

1

2

m（ωr）²+

1

2

m（ω×

r

2

）²，
又 v_A=ωR，
解得v_A=

0.8gr

（3）設OA向左偏離豎直方向的最大角度是θ，
由系統機械能守恒定律得
mgr×cosθ-mg

r

2

×（1+sinθ）=0
得 2cosθ=1+sinθ，
4（1-sin2θ）=1+2sinθ+sin2θ，
5sin2θ+2sinθ-3=0
sinθ=0.6
∴θ=37°
答：
（1）當A球轉到最低點時，兩小球的重力勢能之和減少了

1

2

mgr．
（2）A球轉到最低點時的線速度是

0.8gr

．
（3）在轉動過程中半徑OA向左偏離豎直方向的最大角度是37°．