Question

【題目】如圖所示，在豎直平面內的光滑固定軌道由四分之一圓弧AB和二分之一圓弧BC組成，兩者在最低點B平滑連接．過BC圓弧的圓心O有厚度不計的水平擋板和豎直擋板各一塊，擋板與圓弧軌道之間有寬度很小的縫隙．AB弧的半徑為2R，BC弧的半徑為R.一直徑略小于縫寬的小球在A點正上方與A相距處由靜止開始自由下落，經A點沿圓弧軌道運動．不考慮小球撞到擋板以后的反彈．

(1)通過計算判斷小球能否沿軌道運動到C點．

(2)若小球能到達C點，求小球在B、C兩點的動能之比；若小球不能到達C點，請求出小球至少從距A點多高處由靜止開始自由下落才能夠到達C點．

(3)使小球從A點正上方不同高度處自由落下進入軌道，小球在水平擋板上的落點到O點的距離x會隨小球開始下落時離A點的高度h而變化，請在圖中畫出x2h圖象．(寫出計算過程)

Answer 1

【答案】(1) (2) 4∶1 (3) 過程見解析

【解析】

（1）若小球能沿軌道運動到C點，小球在C點所受軌道的正壓力N應滿足N≥0

設小球的質量為m，在C點的速度大小為vC，由牛頓運動定律和向心加速度公式有

N＋mg＝

小球由開始下落至運動到C點過程中，機械能守恒，有

由兩式可知

N＝mg

小球可以沿軌道運動到C點.

（2）小球在C點的動能為EkC，由機械能守恒得

EkC＝

設小球在B點的動能為EkB，同理有

EkB＝

得

EkB∶EkC＝4∶1．

（3）小球自由落下，經ABC圓弧軌道到達C點后做平拋運動。由動能定理得：

由平拋運動的規律得：

x=vCt

解得：

因為，且 所以

x2h圖象如圖所示：