Question

如圖所示，半徑R=0.9m的光滑的半圓軌道固定在豎直平面內，直徑AC豎直，下端A與光滑的水平軌道相切．一小球沿水平軌道進入豎直圓軌道，通過最高點C時對軌道的壓力為其重力的3倍．不計空氣阻力，g取10m/s²．求：
（1）小球在A點的速度大小；
（2）小球的落地點到A點的距離．

Answer 1

分析：（1）小球在C點時，由重力和軌道對小球的壓力的合力提供向心力，根據牛頓第二定律求解小球在C點的速度大小；再對小球從A到C過程，運用機械能守恒求解即可．
（2）小球離開C點后作平拋運動，水平方向做勻速直線運動，豎直方向做自由落體運動．小球的飛行高度為2R，根據平拋運動的規律求解小球的落地點到A點的距離．

解答：解：（1）設小球的質量為m，它通過最高點C時的速度為v_c，根據牛頓第二定律，有：
mg+3mg=m

v 2 c

R

代人數據解得：v_c=

4gR

=

4×10×0.9

m/s=6m/s  
設小球在A點的速度大小為v_A，以地面為參考平面，根據機械能守恒定律，有：

1

2

m

v

2 A

=

1

2

m

v

2 C

+mg?2R
解得：v_A=

v 2 C +4gR

=

62+4×10×0.9

m/s=6

2

m/s≈8.5m/s
（2）小球離開C點后作平拋運動，根據2R=

1

2

gt2
它在空中運動的時間為：t=

4R g

=

4×0.9 10

s=0.6s 
小球的落地點到A點的距離為：s=v_c?t=6×0.6m=3.6m
答：（1）小球在A點的速度大小約為8.5m/s；
（2）小球的落地點到A點的距離為3.6m．

點評：本題主要考查了向心力公式、機械能守恒定律及平拋運動基本公式的直接應用，屬于常規題．