Question

如圖所示，在xoy坐標(biāo)系中，第Ⅲ象限內(nèi)有場(chǎng)強(qiáng)為E，方向沿x正向的勻強(qiáng)電場(chǎng)，第Ⅱ、Ⅳ象限內(nèi)有垂直坐標(biāo)平面向內(nèi)、強(qiáng)度相等的勻強(qiáng)磁場(chǎng)，第 I象限無(wú)電、磁場(chǎng)．質(zhì)量為 m、電量為q的帶正電粒子，自x軸上的P點(diǎn)以速度v₀垂直電場(chǎng)射入電場(chǎng)中，不計(jì)粒子重力和空氣阻力，PO之間距離為

mv02

2qE

（1）求粒子從電場(chǎng)射入磁場(chǎng)時(shí)速度的大小和方向．
（2）若粒子由第Ⅳ象限的磁場(chǎng)直接回到第Ⅲ象限的電場(chǎng)中，則磁感應(yīng)強(qiáng)度大小應(yīng)滿足什么條件？
（3）若磁感應(yīng)強(qiáng)度B=

2E

v0

，則粒子從P點(diǎn)出發(fā)到第一次回到第Ⅲ象限的電場(chǎng)區(qū)域所經(jīng)歷的時(shí)間是多少？

Answer 1

分析：（1）粒子射入電場(chǎng)后做類平拋運(yùn)動(dòng)，電場(chǎng)力做功為qEL_OP，根據(jù)動(dòng)能定理求出粒子離開(kāi)電場(chǎng)時(shí)的速度大小，由速度的分解求出速度與y軸負(fù)方向的夾角；
（2）粒子進(jìn)入第Ⅳ象限的磁場(chǎng)由洛倫茲力提供向心力，做勻速圓周運(yùn)動(dòng)．粒子由第Ⅳ象限的磁場(chǎng)直接回到第Ⅲ象限的電場(chǎng)中，其運(yùn)動(dòng)軌跡恰好與x軸相切時(shí)，半徑最大，對(duì)應(yīng)的磁感應(yīng)強(qiáng)度最�。�畫(huà)出粒子的運(yùn)動(dòng)軌跡，由類平拋運(yùn)動(dòng)的規(guī)律求出OA長(zhǎng)度，由幾何知識(shí)求出磁場(chǎng)中半徑的最大值，由半徑公式求出磁感應(yīng)強(qiáng)度的最小值．即可得到磁感應(yīng)強(qiáng)度大小應(yīng)滿足的條件．
（3）若磁感應(yīng)強(qiáng)度B=

2E

v0

，粒子先在第Ⅳ象限的磁場(chǎng)中做勻速圓周運(yùn)動(dòng)，后在第Ⅰ象限無(wú)場(chǎng)中做勻速直線運(yùn)動(dòng)，進(jìn)入第Ⅱ磁場(chǎng)中也做勻速圓周運(yùn)動(dòng)．
由半徑公式求出粒子在第Ⅳ象限的磁場(chǎng)中軌跡半徑，由幾何關(guān)系畫(huà)出運(yùn)動(dòng)軌跡．先根據(jù)類平拋運(yùn)動(dòng)的規(guī)律，求出電場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)時(shí)間，根據(jù)軌跡的圓心角求出在磁場(chǎng)運(yùn)動(dòng)時(shí)間，由幾何知識(shí)求出無(wú)場(chǎng)區(qū)通過(guò)的位移x，由公式t=

x

v

求出通過(guò)無(wú)場(chǎng)區(qū)的時(shí)間，即可求得總時(shí)間．

解答：解：（1）設(shè)粒子射入磁場(chǎng)時(shí)射入點(diǎn)為A，速度大小為v，與y軸負(fù)方向夾角θ
粒子在電場(chǎng)中做類平拋運(yùn)動(dòng)時(shí)，由動(dòng)能定理
   qEL_OP=

1

2

mv2-

1

2

m

v

2 0

解出 v=

2

v0
與y軸負(fù)向夾角sinθ=

v0

v

=

2

2

，θ=45°
（2）若帶電粒子恰好直接回到電場(chǎng)中，粒子運(yùn)動(dòng)軌跡如圖中虛線所示，
粒子在電場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)時(shí)：
Y方向：L_OA=v₀t
X方向：L_OP=

1

2

v_xt，
由（1）問(wèn)可知，v_x=v₀，
由以上三式得：L_OA=2L_OP=2?

mv02

2qE

=

m v 2 0

qE

粒子在第Ⅳ象限磁場(chǎng)中，由幾何關(guān)系得：
  R+Rsinθ=L_OA 
解得  R=

(2- 2 )m v 2 0

qE

而R=

mv

qB

=

2 mv0

qB

            
解得 B=（

2

+1） 

E

v0

所以 B≥（

2

+1）

E

v0

（3）當(dāng)磁感應(yīng)強(qiáng)度B=

2E

v0

時(shí)，在磁場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)半徑為R′=

mv

qB

=

2 m v 2 0

2qE

=

2

LOP
由幾何關(guān)系得粒子在磁場(chǎng)中的軌跡為半圓，粒子運(yùn)動(dòng)軌跡如圖中實(shí)線所示
粒子在電場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)時(shí)間：t₁=

LOA

v0

=

mv0

qE

在磁場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)時(shí)間：t₂=

T

2

=

πm

qB

=

πm

q? 2E v0

=

πmv0

2qE

無(wú)場(chǎng)區(qū)運(yùn)動(dòng)時(shí)間：t₃=

2R′

v

=

2 2 LOP

2 v0

=

mv0

qE

故總時(shí)間為：t=t₁+2t₂+t₃=（2+π）

mv0

qE

答：
（1）粒子從電場(chǎng)射入磁場(chǎng)時(shí)速度的大小是

2

v0，方向與y軸負(fù)向夾角為θ=45°．
（2）若粒子由第Ⅳ象限的磁場(chǎng)直接回到第Ⅲ象限的電場(chǎng)中，磁感應(yīng)強(qiáng)度大小應(yīng)滿足的條件是B≥（

2

+1）

E

v0

．
（3）若磁感應(yīng)強(qiáng)度B=

2E

v0

，粒子從P點(diǎn)出發(fā)到第一次回到第Ⅲ象限的電場(chǎng)區(qū)域所經(jīng)歷的時(shí)間是（2+π）

mv0

qE

．

點(diǎn)評(píng)：本題的解題關(guān)鍵是：在電場(chǎng)中，運(yùn)用動(dòng)能定理和類平拋運(yùn)動(dòng)的規(guī)律求速度v和x軸方向的位移；在磁場(chǎng)中畫(huà)軌跡，運(yùn)用幾何知識(shí)求軌跡半徑．