Question

如圖所示，在空間中有一坐標系oxy，其第一象限中充滿著兩個方向不同的勻強磁場區域Ⅰ和Ⅱ．直線OP是它們的邊界．區域Ⅰ中的磁感應強度為2B，方向垂直紙面向內，區域Ⅱ中的磁感應強度為B，方向垂直紙面向外，邊界上的P點坐標為（3L，3L）．一質量為m，電荷量為+q的粒子從P點平行于y軸正方向以速度v₀=

2BqL

m

射入區域Ⅰ，經區域Ⅰ偏轉后進入區域Ⅱ（忽略粒子重力），求：
（1）粒子在Ⅰ和Ⅱ兩磁場中做圓周運動的半徑之比；
（2）粒子在磁場中運動的總時間及離開磁場的位置坐標．

Answer 1

分析：（1）帶電粒子射入磁場中，由洛倫茲力提供向心力而做勻速圓周運動，由牛頓第二定律和向心力公式求半徑，并得到半徑之比；
（2）由圓周運動知識得到周期公式T=

2πm

qB

，粒子在區域Ⅰ中轉過的圓心角為θ₁=

3

2

π，粒子在區域Ⅰ中運動的時間為t1=

θ1

2π

T1，粒子在區域Ⅱ中轉過的圓心角為θ2=

π

2

，粒子在區域Ⅱ中運動的時間為t2=

θ2

2π

T2．即可求得總時間．
將v₀=

2BqL

m

代入半徑公式R=

mv

qB

，得到粒子在兩個磁場中圓周運動的半徑，由幾何關系求出粒子離開磁場的位置坐標．

解答：解：（1）帶電粒子射入磁場中，由洛倫茲力提供向心力而做勻速圓周運動，根據牛頓第二定律得
    qvB=m

v2

R

  ①
解得 R=

mv

qB

    ②
所以，粒子在Ⅰ和Ⅱ兩磁場中做圓周運動的半徑分別為：R₁=

mv0

2qB

，R₂=

mv0

qB

    ③
解得

R1

R2

=

1

2

    ④
（2）粒子在磁場中圓周運動的周期為T=

2πm

qB

   ⑤
可得 T1=

πm

qB

，T2=

2πm

qB

            ⑥
粒子在區域Ⅰ中轉過的圓心角為θ₁=

3

2

π    ⑦
粒子在區域Ⅰ中運動的時間為t1=

θ1

2π

T1   ⑧
解得t1=

3πm

4qB

      ⑨
粒子在區域Ⅱ中轉過的圓心角為θ2=

π

2

       ⑩
粒子在區域Ⅱ中運動的時間為t2=

θ2

2π

T2     （11）
解得t2=

πm

2qB

            （12）
所以t=t₁+t₂=

5πm

4qB

      （13）
將速度v₀=

2BqL

m

代入得
  R₁=L，R₂=2L       （14）
由幾何關系得

.

OO2

=3L-R1，

.

O2M

=R2               （15）
粒子離開磁場的橫坐標為x=

.

OO2

+

.

O2M

=4L      （16）
粒子離開磁場的位置坐標（4L，0）（17）
答：（1）粒子在Ⅰ和Ⅱ兩磁場中做圓周運動的半徑之比是1：2；
（2）粒子在磁場中運動的總時間是

5πm

4qB

，離開磁場的位置坐標是（4L，0）．

點評：本題是粒子在磁場中勻速圓周運動的問題．在磁場中圓周運動常用方法是畫軌跡，由幾何知識求半徑．