Question

【題目】古代戰場上人們設計了如圖所示的自動投石裝置，其左端固定一彈簧，A為放入石塊口，BC是一長為1.5R的豎直細管，上半部CD是半徑為R的四分之一圓弧彎管，管口沿水平方向。投石時，每次總將彈簧長度壓縮到相同位置后鎖定，在彈簧右端放置一塊石頭，解除鎖定，彈簧可將石頭向右彈射出去。在某次投放時，將質量為m的石塊放入該裝置中，解除鎖定后石塊到達管口D時，對管壁的作用力恰好為零。不計石塊在運動過程中的機械能損失，且鎖定和解除鎖定時，均不改變彈簧的彈性勢能。已知重力加速度為g。求：

(1)該石塊到達管口D時的速度大小v1；

(2)彈簧被鎖定時的彈性勢能Ep；

(3)已知山坡與水平地面相距2R，若使該投石管繞中軸線OO′在角的范圍內來回緩慢轉動，每次彈射時只放置一塊石頭，石塊的質量在m到m之間變化，持續投放足夠長時間后，石塊能夠落到水平地面的最大面積S是多少？

Answer 1

【答案】(1) (2)3mgR (3)

【解析】

(1)石塊到管口C時做圓周運動的向心力完全由重力提供，則：

解得：

(2)彈簧的彈性勢能全部轉化為石塊的機械能，由機械能守恒定律有：

解得：

(3)不考慮因緩慢轉動裝置對石塊速度大小的影響，質量為m的石塊離開管口后做平拋運動，設經過t時間落到水面上，離OO′的水平距離為x1，由平拋運動規律有

解得：

當石塊的質量為時，設其到達管口C時速度大小為v2，由機械能守恒定律有：

解得：

質量為的石塊落到水面上時，設離OO′的水平距離為x2，則有

解得：

石塊能夠落到水面的最大面積為