Question

回旋加速器在核科學、核技術、核醫學等高新技術領域得到了廣泛應用，有力地推動了現代科學技術的發展．
（1）當今醫學成像診斷設備PET/CT堪稱“現代醫學高科技之冠”，它在醫療診斷中，常利用能放射電子的同位素碳11為示蹤原子，碳11是由小型回旋加速器輸出的高速質子轟擊氮14獲得，同時還產生另一粒子，試寫出核反應方程．若碳11的半衰期τ為20min，經2.0h剩余碳11的質量占原來的百分之幾？（結果取2位有效數字）
（2）回旋加速器的原理如圖，D₁和D₂是兩個中空的半徑為R的半圓金屬盒，它們接在電壓一定、頻率為f的交流電源上，位于D₁圓心處的質子源A能不斷產生質子（初速度可以忽略，重力不計），它們在兩盒之間被電場加速，D₁、D₂置于與盒面垂直的磁感應強度為B的勻強磁場中．若質子束從回旋加速器輸出時的平均功率為P，求輸出時質子束的等效電流I與P、B、R、f的關系式（忽略質子在電場中運動的時間，其最大速度遠小于光速）
（3）試推理說明：質子在回旋加速器中運動時，隨軌道半徑r的增大，同一盒中相鄰軌道的半徑之差△r是增大、減小還是不變？

Answer 1

分析：（1）根據質量數守恒和核電荷數守恒書寫核反應方程式．根據半衰期的定義寫成剩余質量和總質量的關系式即可求解．
（2）根據電流的定義式I=

Q

t

和Q=Nq以及P=

N 1 2 mv2

t

求解．
（3）求出r_k所對應的加速次數和r_k+1所對應的加速次數即可求出它們所對應的軌道半徑，然后作差即可求出r_k和r_k+1，從而求出△r_k，運用同樣的方法求出△r_k+1，比較△r_k和△r_k+1即可得出答案．

解答：解：（1）核反應方程為₇¹⁴N+₁¹H→₆¹¹C+₂⁴He…①
設碳11原有質量為m₀，經過t=2.0h剩余的質量為m_t，根據半衰期定義，有：

mt

m0

=(

1

2

)

t

τ

=(

1

2

)

120

20

=1.6%…②
（2）設質子質量為m，電荷量為q，質子離開加速器時速度大小為v，由牛頓第二定律知：qvB=m

v2

R

…③
質子運動的回旋周期為：T=

2πR

v

=

2πm

qB

…④
由回旋加速器工作原理可知，交變電源的頻率與質子回旋頻率相同，由周期T與頻率f的關系可得：f=

1

T

…⑤
設在t時間內離開加速器的質子數為N，則質子束從回旋加速器輸出時的平均功率P=

N? 1 2 mv2

t

…⑥
輸出時質子束的等效電流為：I=

Nq

t

…⑦
由上述各式得I=

P

πBR2f

（3）方法一：
設k（k∈N^*）為同一盒子中質子運動軌道半徑的序數，相鄰的軌道半徑分別為r_k，r_k+1（r_k＜r_k+1），△r_k=r_k+1-r_k，
在相應軌道上質子對應的速度大小分別為v_k，v_k+1，D₁、D₂之間的電壓為U，
由動能定理知2qU=

1

2

m

v

2 k+1

-

1

2

m

v

2 k

…⑧
由洛倫茲力充當質子做圓周運動的向心力，知rk=

mvk

qB

，
則2qU=

q2B2

2m

(

r

2 k+1

-

r

2 k

)…⑨
整理得 △rk=

4mU

qB2(rk+1-rk)

…⑩
因U、q、m、B均為定值，令C=

4mU

qB2

，由上式得△rk=

C

rk+rk+1

…（11）
相鄰軌道半徑r_k+1，r_k+2之差△r_k+1=r_k+2-r_k+1
同理 △rk=

C

rk+1+rk+2

因為r_k+2＞r_k，比較△r_k，△r_k+1得△r_k+1＜△r_k
說明隨軌道半徑r的增大，同一盒中相鄰軌道的半徑之差△r減小
方法二：
設k（k∈N*）為同一盒子中質子運動軌道半徑的序數，相鄰的軌道半徑分別為r_k，r_k+1（r_k＜r_k+1），△r_k=r_k+1-r_k，
在相應軌道上質子對應的速度大小分別為v_k，v_k+1，D₁、D₂之間的電壓為U
由洛倫茲力充當質子做圓周運動的向心力，知rk=

mvk

qB

，故

rk

rk+1

=

vk

vk+1

…（12）
由動能定理知，質子每加速一次，其動能增量△E_k=qU  …（13）
以質子在D₂盒中運動為例，第k次進入D₂時，被電場加速（2k-1）次
速度大小為vk=

(2k-1)2qU m

…（14）
同理，質子第（k+1）次進入D₂時，被電場加速（2k+1）次，速度大小為vk+1=

(2k+1)2qU m

綜合上述各式可得

rk

rk+1

=

vk

vk+1

=

2k-1 2k+1

整理得

r 2 k

r 2 k+1

=

2k-1

2k+1

，

r 2 k+1 - r 2 k

r 2 k+1

=

2

2k+1

△rk=

2 r 2 k+1

(2k+1)(rk+rk+1)

同理，對于相鄰軌道半徑r_k+1，r_k+2，△r_k+1=r_k+2-r_k+1，整理后有
△rk+1=

2 r 2 k+1

(2k+1)(rk+1+rk+2)

由于r_k+2＞r_k，比較△r_k，△r_k+1得△r_k+1＜△r_k
說明隨軌道半徑r的增大，同一盒中相鄰軌道的半徑之差△r減小，用同樣的方法也可得到質子在D₁盒中運動時具有相同的結論．

點評：本題的難點是（3），要求△r_k需要知道r_k和r_k+1，同理算出△r_k+1，對△r_k和△r_k+1，即可得出答案．