Question

【題目】如圖所示，兩根相距為L的光滑金屬導(dǎo)軌CD、EF固定在水平面內(nèi)，并處在方向豎直向下的勻強(qiáng)磁場(chǎng)中，導(dǎo)軌足夠長(zhǎng)且電阻不計(jì)。在導(dǎo)軌的左端接入一阻值為R的定值電阻，將質(zhì)量為m、電阻可忽略不計(jì)的金屬棒MN垂直放置在導(dǎo)軌上。t=0時(shí)刻，MN棒與DE的距離為d，MN棒運(yùn)動(dòng)過(guò)程中始終與導(dǎo)軌垂直且接觸良好，不計(jì)空氣阻力。

（1）金屬棒MN以恒定速度v向右運(yùn)動(dòng)過(guò)程中

①若從t=0時(shí)刻起，所加的勻強(qiáng)磁場(chǎng)的磁感應(yīng)強(qiáng)度B從B0開(kāi)始逐漸減小時(shí)，恰好使回路中不產(chǎn)生感應(yīng)電流，試從磁通量的角度分析磁感應(yīng)強(qiáng)度B的大小隨時(shí)間t的變化規(guī)律；

②若所加勻強(qiáng)磁場(chǎng)的磁感應(yīng)強(qiáng)度為B且保持不變，試從磁通量變化、電動(dòng)勢(shì)的定義、自由電子的受力和運(yùn)動(dòng)、或功能關(guān)系等角度入手，選用兩種方法推導(dǎo)MN棒中產(chǎn)生的感應(yīng)電動(dòng)勢(shì)E的大小；

（2）為使回路DENM中產(chǎn)生正弦（或余弦）交變電流，請(qǐng)你展開(kāi)“智慧的翅膀”，提出一種可行的設(shè)計(jì)方案，自設(shè)必要的物理量及符號(hào)，寫(xiě)出感應(yīng)電動(dòng)勢(shì)瞬時(shí)值的表達(dá)式。

Answer 1

【答案】（1）①；②見(jiàn)解析；（2）見(jiàn)解析。

【解析】（1）①由產(chǎn)生感應(yīng)電流的條件可知，回路中不產(chǎn)生感應(yīng)電流，

則穿過(guò)回路的磁通量不變，

根據(jù)磁通量不變，應(yīng)有 B0Ld = BL（d+vt）

解得 B=

②方法一：由法拉第電磁感應(yīng)定律推導(dǎo)

經(jīng)過(guò)時(shí)間Δt閉合回路的磁通量變化為Δφ=BLvΔt

根據(jù)法拉第電磁感應(yīng)定律=BLv

方法二：利用電動(dòng)勢(shì)的定義推導(dǎo)

電動(dòng)勢(shì)定義為非靜電力把單位電荷量的正電荷在電源內(nèi)從負(fù)極移送到正極所做的功，對(duì)應(yīng)著其他形式的能轉(zhuǎn)化為電勢(shì)能的大小。這里的非靜電力為洛倫茲力（沿MN棒上的分力），洛倫茲力（沿MN棒上的分力）做正功，即：W非=（Bev）L

方法三：由導(dǎo)體棒中自由電子受力平衡推導(dǎo)

導(dǎo)體棒內(nèi)的自由電子隨導(dǎo)體棒向右勻速運(yùn)動(dòng)的速度為v，受到的洛倫茲力大小為f=evB，方向向下，電子在棒下端聚焦，棒下端帶負(fù)電，棒的上端由于缺少電子而帶正電，MN間產(chǎn)生電壓，且電壓隨著自由電子向下移動(dòng)而逐漸升高。

設(shè)MN間產(chǎn)生電壓為U，則MN中的電場(chǎng)強(qiáng)度

導(dǎo)體棒中的自由電子將受到向上的電場(chǎng)力F=E0e=eU/L

當(dāng)F=f時(shí)，自由電子在沿導(dǎo)體棒MN的方向的受力達(dá)到平衡，由

可得穩(wěn)定電壓為U=BLv

在內(nèi)電阻為0時(shí)，路端電壓等于電動(dòng)勢(shì)，因此動(dòng)生電動(dòng)勢(shì)大小為E=BLv

方法四：由能量守恒推導(dǎo)

當(dāng)導(dǎo)體棒勻速運(yùn)動(dòng)時(shí)，其受到向右的恒定拉力和向左的安培力平衡，

則F外=BIL

拉力做功的功率：P外=F外v=BILv

閉合電路消耗的總功率： P電=EI

根據(jù)能量的轉(zhuǎn)化和守恒可知：P外= P電

可得到：E=BLv

（2）方案1：B不變化，金屬棒以初始位置為中心做簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)，

即v=vmsint，

則根據(jù)法拉第電磁感應(yīng)定律有：=B0Lv=B0Lvmsint

方案2：金屬棒不動(dòng)，B隨時(shí)間正弦（或余弦）變化，

即B=Bmsint

，，

由求導(dǎo)數(shù)公式，

方案3：設(shè)桿初位置桿的中心為坐標(biāo)原點(diǎn)，平行EF方向建立坐標(biāo)軸x，平行ED方向建立y坐標(biāo)，勻強(qiáng)磁場(chǎng)只分布在有限空間y=sinx內(nèi)，如圖所示（圖中磁場(chǎng)分布只畫(huà)了一個(gè)周期）。磁感應(yīng)強(qiáng)度大小均為B0，但磁場(chǎng)方向在有限的空間周期性方向相反。

金屬棒勻速向右運(yùn)動(dòng)過(guò)程中，位移x=vt

導(dǎo)棒切割產(chǎn)生瞬時(shí)電動(dòng)勢(shì)：e=B0yv= B0vsinvt=Emsinvt

其他方案合理，均算正確。