Question

【題目】如圖,傾斜軌道AB和光滑軌道BC固定在同一豎直平面內,兩者間通過一小段長度不計的光滑弧形軌道相連,已知AB長L=7.80m,傾角θ=37°,BC弧的半徑R=0.8m,O為圓心,∠BOC=143°,兩個體積相同的小球P與Q、P球的質量mp=0.4kg;帶正電的Q球靜止于A點,質量mQ未知。其電荷量為q,整個裝置處于水平向左的勻強電場中,場強天小E=3mQg/4q。不帶電的小球P從某一位置以v0=8m/s的初速度水平拋出,運動到A點時速度恰好沿斜面向下與小球Q發生彈性正碰,且碰撞過程中無電荷轉移。碰后Q球第一次通過過C點后落到斜面上的D點(未畫出),BD=2.88m。若Q、P與軌道AB的動摩擦因數分別為μ1=0.2，μ2=0.8。小球Q運動過程中電荷量保持不變。sin37°=0.6，cos37°=0.8，g=10m/s2)。求：

（1）小球P的拋出點距A點的高度；

（2）小球Q運動到弧軌道最低點B時對軌道的壓力是其重力的多少倍；
（3）小球Q的質量mQ。

Answer 1

【答案】（1）1.8m（2） （3）0.4kg

【解析】

小球P拋出后做平拋運動，到達A點時速度沿斜面向下，由速度分解法求出小球P到達A點時豎直分速度，即可由運動學公式求出小球P的拋出點距A點的高度；兩球發生彈性正碰，由動量守恒定律和機械能守恒定律結合求出碰后兩球的速度。碰后小球Q獲得速度，將電場力和重力的合力看成等效重力，由動能定理求出小球Q到圓弧軌道最低點B點時的速度，由牛頓運動定律求Q對軌道的壓力。

(1) 設小球P剛運動到A點時的速度為，豎直分速度為，

則有：

所以小球P的拋出點距離A點的高度；

(2) 設小球Q運動到C 點時的速度為，過了C點之后小球Q受到電場力和重力的合力為

，且方向剛好沿著OC，由題中幾何關系可知OC垂直于AB，所以，小球Q過了C點之后將做類平拋運動，運動的加速度

沿著OC的方向上：

沿著垂直于OC的方向上：

可以解出

小球Q從B運動到C的過程，利用動能定理

其國

解得：

對小球Q在B點，由牛頓第二定律

根據牛頓第三定律，小球Q運動到圓弧軌道最低點B時對軌道的壓力跟軌道對它的支持力大小相等，是其重力的倍；

(3) 假設小球Q在A點被撞后的瞬間，速度為，對于小球Q從A點運動到B點的過程，由動能定理

解得：

假設碰后P球的速度為 ，碰前P球的速度為

由于是彈性碰撞

帶入數據解得：，。