Question

【題目】如圖所示，半徑為R的光滑圓形軌道固定在豎直面內.小球A、B質量分別為m、βm(β為待定系數).A球從左邊與圓心等高處由靜止開始沿軌道下滑,與靜止于軌道最低點的B球相撞,碰撞后A、B球能達到的最大高度均為R,碰撞中無機械能損失.重力加速，碰撞中無機械能損失．重力加速度為g．試求：

（1）待定系數β；

（2）第一次碰撞剛結束時小球A、B各自的速度和B球對軌道的壓力；

（3）小球A、B在軌道最低處第二次碰撞剛結束時各自的速度，并討論小球A、B在軌道最低處第n次碰撞剛結束時各自的速度．

Answer 1

【答案】（1）待定系數β是3；（2）第一次碰撞剛結束時小球A、B各自的速度為 ，方向向左和，方向向右；B球對軌道的壓力是4.5mg，方向豎直向下；（3）小球A、B在軌道最低處第二次碰撞剛結束時各自的速度分別是 和0，當n為奇數時，小球A、B在第n次碰撞鍘結束時的速度分別與其第一次碰撞剛結束時相同； 當n為偶數時，小球A、B在第n次碰撞鍘結束時的速度分別與其第二次碰撞剛結束時相同；

【解析】

試題分析: （1）A球從靜止開始下滑到碰撞后A、B球達到的最大高度的過程，由機械能守恒定律得

，解得：β=3

（2）設A、B碰撞后的速度分別為v1、v2，則

設向右方向正，向左為負，解得： ，方向向左； ，方向向右．

設軌道對B球的支持力為FN，B球對軌道的壓力為FN′，方向豎直向下為正

則由牛頓第二定律得，解得，FN=4.5mg

由牛頓第三定律得，FN′=-FN=-4.5mg，方向豎直向下．

（3）設A、B兩球第二次碰撞剛結束時各自的速度分別為V1、V2，

由機械能守恒和動量守恒得

-mv1-βmv2=mV1+βmV2

解得， ，V2=0．（另一組解：V1=-v1，V2=-v2，不合題意，舍去）

由此可得

當n為奇數時，小球A、B在第n次碰撞鍘結束時的速度分別與其第一次碰撞剛結束時相同；

當n為偶數時，小球A、B在第n次碰撞鍘結束時的速度分別與其第二次碰撞剛結束時相同；