Question

目前，我國正在實施“嫦娥奔月”計劃．如圖所示，登月飛船以速度v0繞月球做圓周運動，已知飛船質量為m=1．2×104kg，離月球表面的高度為h=100km，飛船在A點突然向前做短時間噴氣，噴氣的相對速度為u=1．0×104m/s，噴氣后飛船在A點的速度減為vA，于是飛船將沿新的橢圓軌道運行，最終飛船能在圖中的B點著陸（    A．B連線通過月球中心，即A．B兩點分別是橢圓的遠月點和近月點），試問：

   （1）飛船繞月球做圓周運動的速度v0是多大？

   （2）由開普勒第二定律可知，飛船在    A．B兩處的半徑與速率的乘積相等，即rAvA=rBvB，為使飛船能在B點著陸，噴氣時需消耗多少燃料？已知月球的半徑為    R=1700km，月球表面的重力加速度為g=1．7m/s2（選無限遠處為零勢能點，物體的重力勢能大小為Ep=）．

 

Answer 1

【答案】

（1）當飛船以v0繞月球做半徑為rA=R+h的

                  圓周運動時，由牛頓第二定律得，

                  （3分）

                  則（3分）

                  式中M表示月球的質量，R為月球的半徑，為月球表面的重力加速度，

                  所以代入數據得，v0=1652m/s（2分）

   （2）根據開普勒第二定律，飛船在  A．B兩處的面積速度相等，所以有rAvA=rBvB，

                  即（R+h）vA=RvB  ①（2分）

                  由機械能守恒定律得，  ②（2分）

                  由①②式并代入數據得，vA=1628m/s（2分）

                  故登月所需速度的改變量為m/s（2分）

                  飛船在A點噴氣前后動量守恒，設噴氣總質量為⊿m，因噴氣前的動量為mv0，噴氣后的動量為（m－⊿m）vA+⊿m（v0+u），前后動量相等，

                  故有mv0=（m－⊿m）vA+⊿m（v0+u），（2 分）

                  故噴氣所消耗的燃料的質量為⊿m=m⊿v/（u+⊿v）=28．7kg（2分）

【解析】略