Question

(25分)從赤道上的C點發射洲際導彈，使之精確地擊中北極點N，要求發射所用的能量最少.假定地球是一質量均勻分布的半徑為R的球體，R=6400km.已知質量為m的物體在地球引力作用下作橢圓運動時，其能量E與橢圓半長軸a的關系為式中M為地球質量，G為引力常量.

　　

1.假定地球沒有自轉，求最小發射速度的大小和方向(用速度方向與從地心O到發射點C的連線之間的夾角表示).

2.若考慮地球的自轉，則最小發射速度的大小為多少？

3.試導出。

Answer 1

解析：

1.這是一個大尺度運動，導彈發射后，在地球引力作用下將沿橢圓軌道運動.如果導彈能打到N點，則此橢圓一定位于過地心O、北極點N和赤道上的發射點C組成的平面(此平面是C點所在的子午面)內，因此導彈的發射速度(初速度v)必須也在此平面內，地心O是橢圓的一個焦點.根據對稱性，注意到橢圓上的C、N兩點到焦點O的距離相等，故所考察橢圓的長軸是過O點垂直CN的直線，即圖上的直線AB，橢圓的另一焦點必在AB上.已知質量為m的物體在質量為M的地球的引力作用下作橢圓運動時，物體和地球構成的系統的能量E(無窮遠作為引力勢能的零點)與橢圓半長軸a的關系為(1)

　　要求發射的能量最少，即要求橢圓的半長軸a最短.根據橢圓的幾何性質可知，橢圓的兩焦點到橢圓上任一點的距離之和為2a，現C點到一個焦點O的距離是定值，等于地球的半徑R，只要位于長軸上的另一焦點到C的距離最小，該橢圓的半長軸就最小.顯然，當另一焦點位于C到AB的垂線的垂足處時，C到該焦點的距離必最小.由幾何關系可知

　　　　(2)

　　設發射時導彈的速度為v，則有

　　　　(3)

　　解(1)、(2)、(3)式得　　(4)

　　因　　(5)

　　比較(4)、(5)兩式得　　(6)

　　代入有關數據得v=7.2km/s　　(7)

　　速度的方向在C點與橢圓軌道相切.根據解析幾何知識，過橢圓上一點的切線的垂直線，平分兩焦點到該點連線的夾角∠OCP.從圖中可看出，速度方向與OC的夾角

　　(8)

　　2.由于地球繞通過ON的軸自轉，在赤道上C點相對地心的速度為(9)

　　式中R是地球的半徑，T為地球自轉的周期，T=24×3600s=86400s，故

　　v_C=0.46km/s(10)

　　C點速度的方向垂直于子午面(圖中紙面).位于赤道上C點的導彈發射前也有與子午面垂直的速度v_C，為使導彈相對于地心速度位于子午面內，且滿足(7)、(8)兩式的要求，導彈相對于地面(C點)的發射速度應有一大小等于v_C、方向與v_C相反的分速度，以使導彈在此方向相對于地心的速度為零，導彈的速度的大小為

　　(11)

　　代入有關數據得v′=7.4km/s　　(12)

　　它在赤道面內的分速度與v_C相反，它在子午面內的分速度滿足(7)、(8)兩式.

　　3.質量為m的質點在地球引力作用下的運動服從機械能守恒定律和開普勒定律，故對于近地點和遠地點有下列關系式

　　　　(13)

　　　　(14)

　　式中v₁、v₂分別為物體在遠地點和近地點的速度，r₁、r₂為遠地點和近地點到地心的距離.將(14)式中的v₁代入(13)式，經整理得

　　　　(15)

　　注意到r₁+r₂=2a　　(16)

　　得　　(17)

　　因　　(18)

　　由(16)、(17)、(18)式得　　(19)

　　評分標準：(本題25分)

　　1.14分.(2)式6分，(3)式2分，(6)、(7)式共4分，(8)式2分.

　　2.6分.(11)式4分，(12)式2分.

　　3.5分.(13)、(14)式各1分，(19)式3分.