Question

今年春節(jié)前后，我國(guó)南方大部分省區(qū)遭遇了罕見的雪災(zāi)，此次災(zāi)害過程造成17個(gè)省（區(qū)、市、兵團(tuán)）不同程度受災(zāi)．尤其是雪災(zāi)天氣造成輸電線被厚厚的冰層包裹（如圖甲），使相鄰兩個(gè)鐵塔間的拉力大大增加，導(dǎo)致鐵塔被拉倒、壓塌（如圖乙），電力設(shè)施被嚴(yán)重?fù)p毀，給這些地方群眾的生產(chǎn)生活造成了極大不便和巨大損失．
當(dāng)若干相同鐵塔等高、等距時(shí)，可將之視為如圖所示的結(jié)構(gòu)模型．已知鐵塔（左右對(duì)稱）質(zhì)量為m，塔基寬度為d．相鄰鐵塔間輸電線的長(zhǎng)度為L(zhǎng)，其單位長(zhǎng)度的質(zhì)量為m₀，輸電線頂端的切線與豎直方向成θ角．已知冰的密度為ρ，設(shè)冰層均勻包裹輸電線上，且冰層的橫截面為圓形，其半徑為R（輸電線的半徑可忽略）．

（1）每個(gè)鐵塔塔尖所受的壓力將比原來增大多少？
（2）被冰層包裹后，輸電線在最高點(diǎn)、最低點(diǎn)所受的拉力大小分別為多少？
（3）若某鐵塔一側(cè)的輸電線在頂端斷裂，該鐵塔由于受力不對(duì)稱，會(huì)造成該塔以塔基另一側(cè)與地面的接觸點(diǎn)為軸旋轉(zhuǎn)翻倒．已知地面對(duì)塔基的最大拉力為F（該力可簡(jiǎn)化為作用點(diǎn)位于塔基中心、方向豎直向下的拉力），設(shè)鐵塔包裹冰前后的質(zhì)量之比與輸電線包裹冰前后的質(zhì)量之比相同，要使鐵塔不致翻倒，輸電線上包裹的冰層半徑R的最大值R_max為多少？

Answer 1

分析：（1）塔尖受到的壓力來自于左右兩邊的各一半導(dǎo)線上的重力，即為一根導(dǎo)線上的增加的重力；
（2）分別對(duì)導(dǎo)線最高點(diǎn)及最低點(diǎn)受力分析，由共點(diǎn)力的平衡可得出導(dǎo)線受到的拉力，注意在最高點(diǎn)時(shí)選取整根導(dǎo)線分析，而最低點(diǎn)時(shí)只選取一半導(dǎo)線進(jìn)行分析；
（3）根據(jù)力矩平衡條件列式求解即可．

解答：解：（1）輸電線線冰層的體積V_冰=πR²L   
由對(duì)稱關(guān)系可知，塔尖所受壓力的增加值等于一根導(dǎo)線上冰層的重力，即
△N=ρV_冰g=πρR²Lg   
（2）輸電線與冰層的總質(zhì)量M'=m₀L+πρR²Lg，輸電線受力如圖甲所示．
由共點(diǎn)力的平衡條件，得2F₁cosθ=m₀Lg+πρR²Lg   
輸電線在最高點(diǎn)所受的拉力F1=

m0+πρR2

2cosθ

Lg
半根輸電線的受力如圖乙所示．
由共點(diǎn)力的平衡條件，得F₂=F₁sinθ   
輸電線在最低點(diǎn)所受的拉力F2=

m0+πρR2

2

Lgtanθ

（3）設(shè)鐵塔被冰包裹后的質(zhì)量為m'，則m′=

m0+πρR2

m0

m
鐵塔即將翻倒時(shí)受力如圖丙所示．
以塔基的最右端為轉(zhuǎn)軸，R取最大值時(shí)：(m′g+F)?

d

2

=F1′sinθ?H
又F₁'=F₁，聯(lián)立各式，得Rmax=

(mg+F)d-m0LgHtanθ πρg(LHtanθ- md m0 )

答：（1）每個(gè)鐵塔塔尖所受的壓力將比原來增大πρR²Lg；
（2）冰層包裹后，輸電線在最高點(diǎn)的拉力F1=

m0+πρR2

2cosθ

Lg、最低點(diǎn)所受的拉力F2=

m0+πρR2

2

Lgtanθ；
（3）輸電線上包裹的冰層半徑R的最大值為Rmax=

(mg+F)d-m0LgHtanθ πρg(LHtanθ- md m0 )

．

點(diǎn)評(píng)：本題考查學(xué)生在生活實(shí)際中應(yīng)用物理規(guī)律的能力，本題要注意靈活選擇研究對(duì)象進(jìn)行受力分析，再應(yīng)用共點(diǎn)力的平衡求解．