Question

如圖所示，光滑絕緣壁圍成的正方形勻強磁場區域，邊長為a磁場的方向垂直于正方形平面向里，磁感應強度的大小為B．有一個質量為m、電量為q的帶正電的粒子，從下邊界正中央的A孔垂直于下邊界射入磁場中．設粒子與絕緣壁碰撞時無能量和電量損失，不計重力和碰撞時間．
（1）若粒子在磁場中運動的半徑等于a/2，則粒子射入磁場的速度為多大？經多長時間粒子又從A孔射出？
（2）若粒子在磁場中運動的半徑等于a/4，判斷粒子能否再從A孔射出．如能，求出經多長時間粒子從A孔射出；如不能，說出理由．
（3）若粒子在磁場中運動的半徑小于a且仍能從A孔垂直邊界射出，粒子射入的速度應為多大？在磁場中的運動時問是多長？

Answer 1

分析：（1）若粒子在磁場中運動的半徑等于a/2，則粒子粒子在磁場中運動4個

1

4

圓后從A點射出，所以可以知道粒子運動的半徑，然后由洛倫茲力提供向心力去粒子的速度和運動的時間；
（2）若粒子在磁場中運動的半徑等于a/4，則粒子在運動半個圓周后與絕緣壁碰撞然后做勻速直線運動，在另一側與絕緣壁碰撞后做勻速圓周運動，兩個半圓后做勻速直線運動…直到出來；
（3）給定的條件下的粒子的運動軌跡如圖．代人公式即可討論．

解答：解：帶電粒子在磁場中做勻速圓周運動，洛倫茲力提供向心力，得：qvB=

mv2

r

又：r=

a

2

整理得：v=

qBa

2m

由：T=

2π?r

v

得：T=

2πm

qB

粒子在磁場中運動4個

1

4

圓后從A點射出，所以：t=T=

2πm

qB

（2）能．粒子運動的軌跡如圖，
由qvB=

mv2

r

，r=

a

4

得：v=

qBa

4m

t=

2a

v

+2

2πm

qB

=

8+4π

qB

m
（3）第一種情景：r1=

a 2

2n

=

mv1

qB

v1=

qBa

4nm

，其中n=1、2、3…
t1=

2a

v1

+2nT=

4n(2+π)m

qB

，其中n=1、2、3…
第二種情景：r2=

a 2

2n+1

=

mv2

qB

v2=

qBa

2(2n+1)m

，其中n=1、2、3…
t2=(4n+1)T=

2(4n+1)πm

qB

，其中n=1、2、3…
答：（1）若粒子在磁場中運動的半徑等于a/2，則粒子射入磁場的速度為v=

qBa

2m

，經時間

2πm

qB

粒子又從A孔射出；
（2）若粒子在磁場中運動的半徑等于a/4，粒子能再從A孔射出．經時間

8+4π

qB

m粒子從A孔射出；
（3）若粒子在磁場中運動的半徑小于a且仍能從A孔垂直邊界射出，粒子射入的速度以及在磁場中的運動時間有兩種情況：
第一種情景：r1=

a 2

2n

=

mv1

qB

v1=

qBa

4nm

，其中n=1、2、3…
t1=

2a

v1

+2nT=

4n(2+π)m

qB

，其中n=1、2、3…
第二種情景：r2=

a 2

2n+1

=

mv2

qB

v2=

qBa

2(2n+1)m

，其中n=1、2、3…
t2=(4n+1)T=

2(4n+1)πm

qB

，其中n=1、2、3…

點評：在帶電粒子在磁場中的運動中，正確畫出粒子的運動軌跡是解題的關鍵．尤其是情景比較復雜的情況下，更是如此．題目的難度較大．