Question

兩平面熒光屏互相垂直放置，在兩屏內分別取垂直于兩屏交線的直線為x軸和y軸，交點O為原點，如圖所示，在y＞0，0＜x＜a的區域有垂直于紙面向里的勻強磁場，在y＞0，x＞a的區域有垂直于紙面向外的勻強磁場，兩區域內的磁感應強度大小均為B。在O點有一處小孔，一束質量為m、帶電量為q（q＞0）的粒子沿x軸經小孔射入磁場，最后扎在豎直和水平熒光屏上，使熒光屏發亮。入射粒子的速度可取從零到某一最大值之間的各種數值。已知速度最大的粒子在0＜x＜a的區域中運動的時間與在x＞a的區域中運動的時間之比為2∶5，在磁場中運動的總時間為7T/12，其中T為該粒子在磁感應強度為B的勻強磁場中作圓周運動的周期。試求兩個熒光屏上亮線的范圍（不計重力的影響）。

Answer 1

解：粒子在磁感應強度為B的勻強磁場中運動的半徑為：
速度小的粒子將在x＜a的區域走完半圓，射到豎直屏上。半圓的直徑在y軸上，半徑的范圍從0到a，屏上發亮的范圍從0到2a
軌道半徑大于a的粒子開始進入右側磁場，考慮r＝a的極限情況，這種粒子在右側的圓軌跡與x軸在D點相切（虛線），OD＝2a，這是水平屏上發亮范圍的左邊界
速度最大的粒子的軌跡如圖中實線所示，它由兩段圓弧組成，圓心分別為C和C'，C在y軸上，由對稱性可知C'在x＝2a直線上

設t₁為粒子在0＜x＜a的區域中運動的時間，t₂為在x＞a的區域中運動的時間，由題意可知
，
解得：，
由兩式和對稱性可得：∠OCM＝60°，∠MC'N＝60°，360°＝150°
所以∠NC'P＝150°－60°＝90°
即為圓周，因此，圓心C'在x軸上
設速度為最大值粒子的軌道半徑為R，由直角ΔCOC'可得
2Rsin60°＝2a

由圖可知OP＝2a＋R，因此水平熒光屏發亮范圍的右邊界的坐標