Question

如圖所示，與水平面成θ=37°的粗糙斜面與一光滑圓軌道相切于A點，斜面AB的長度s=2.3m，動摩擦因數μ=0.5，圓軌道半徑為R=0.6m．讓質量為m=1kg物體（可視為質點）從B點以某一沿斜面向下的初速度釋放，恰能沿軌道運動到圓軌道的最高點C，空氣阻力忽略不計．（取sin37°=0.6，cos37°=0.8）
（1）求釋放時的初動能；
（2）設物體從C點落回斜面AB上的P點，試通過計算判斷P位置比圓心O高還是低．

Answer 1

分析：（1）物體恰能沿軌道運動到圓軌道的最高點C，由重力提供向心力，列式可求得物體經過C點時的速度；再對整個過程，根據動能定理求解釋放時的初動能；
（2）物體離開C點后做平拋運動．設物體一直平拋至與O等高處，根據平拋運動的特點求出水平位移，跟圖中O到斜面的水平距離進行比較得出結論．

解答：解：（1）物體恰能沿軌道運動到圓軌道的最高點C，由重力提供向心力，則有：
mg=m

v 2 C

R

得物體在最高點C的速度為：v_C=

gR

物體從B至C的過程，根據動能定理得：
mg（s?sinθ-R-Rcosθ）-μmgcosθ?s=

1

2

m

v

2 C

-E_k0
則得釋放時的初動能為：E_k0=

1

2

m

v

2 C

-mg（ssinθ-R-Rcosθ）+μmgcosθ?s=

1

2

mgR-mg（ssinθ-R-Rcosθ）+μmgcosθ?s
將數據代入解得：E_k0=9.2J
（2）物體離開C點后做平拋運動．設物體一直平拋至與O等高處，則有：
豎直方向有：R=

1

2

gt2
水平方向有：x=v_Ct
則 x=

gR

?

2R g

=

2

R．
又由圖可得O到斜面的水平距離為

R

sinθ

=

R

sin37°

=

5

3

R＞x，所以物體的落點位置P低于O．
答：（1）釋放時的初動能為9.2J；
（2）計算見上，P位置比O點低．

點評：本題主要考查了動能定理及向心力公式的直接應用，要求同學們能根據需要選擇適當的過程運用動能定理解題．