Question

如圖所示，在以OM和ON為邊界的區域內有一磁感應強度為B，垂直于紙面向里的勻強磁場，在ON的左側區域存在一平行于OM的勻強電場（圖中未畫出），OM、ON間的夾角α滿足tanα=

3

2

，現有大量的帶負電的粒子從O點以大小不同的速度垂直射入電場，粒子在MON平面內運動，一段時間后通過ON邊界進入磁場，已知帶電粒子的質量為m，帶電量為q，以v₀的初速度射入電場中的粒子在磁場中運動時恰好與OM邊界相切．不計重力和粒子間的相互作用，tan37°=

3

4

（1）試確定這些帶電粒子第一次進入磁場的方向；
（2）試確定勻強電場的電場強度的大小和方向；
（3）若帶電粒子射入電場的初速度v_x≥

4

9

v₀ ，試確定這些帶電粒子第一次在磁場中運動的時間范圍．（可用反三角函數表示）

Answer 1

（1）以O為坐標原點，v_x方向為想軸，OM方向為y軸建立直角坐標系如圖所示，

粒子在電場中做類平拋運動，
在x軸方向上：x=v_xt，在y軸方向上：y=

1

2

at²，
tanα=

x

y

，tanβ=

vy

vx

=

at

vx

，
解得：tanβ=

2

tanα

=

4

3

，則β=53°，
所用帶電粒子進入磁場的速度方向均與初速度方向成53°角．
（2）由題意可知，電場方向平行于OM向左，
由（1）所列方程可解得：t=

2vx

atanα

，x=

2 v 2x

atanα

=

4 v 2x

3a

，
帶電粒子進入磁場做勻速圓周運動，
由牛頓第二定律得：qvB=m

v2

R

①，
解得：R=

mv

qB

=

mvx

qBcosβ

=

5mvx

3qB

，
以v₀的速度射入電場中的粒子在電磁場中的運動軌跡如圖中實線所示，
由幾何知識可知，x₀=R₀（1+sinβ）=

9

5

R₀ ②，
將v₀代入①②解得：a=

4qBv0

9

，
而a=

qE

m

，解得：E=

4Bv0

9

；
（3）由圖示可知，粒子進入磁場的位置點a到粒子在磁場中做圓周運動的圓弧最低點b在x軸方向上的距離d為：
d=R（1+sinβ）=

3mvx

qB

，
則有：

x

d

=

4qBvx

9ma

，可知：當v_x＜v₀時，粒子將從OM邊界飛出，
可知當v_x＞v₀時，粒子將不能從OM邊界飛出，
因此當帶電粒子的速度v_x=

4

9

v₀時，粒子第一次在磁場中的運動時間最短，
此時粒子進入磁場時沿x方向的位移與粒子在磁場中做圓周運動的半徑關系為

x′

r

=

4

5

，則圓心恰好在OM上，如圖所示：

由圖示可知，帶電粒子在磁場中運動的最短時間：
t_min=

127°

360°

T=

127

360

×

2πm

qB

=

127πm

180qB

，
故當帶電粒子帶電速度v_x≥v₀時，粒子第一次在磁場中運動的時間相同且最長，
由圖示可知，最長時間：t_max=

3π-2(α+β)

2π

T=

[3π-2(α+β)]m

qB

，其中：α=arctan

3

2

，β=arctan

4

3

，
綜合以上分析可知，帶電粒子第一次在磁場中運動時間范圍是：

127πm

180qB

≤t′≤

[3π-2(α+β)]m

qB

，其中：α=arctan

3

2

，β=arctan

4

3

；
答：（1）帶電粒子第一次進入磁場的速度方向均與初速度方向成53°角．
（2）勻強電場的電場強度的大小為

4Bv0

9

，方向平行于OM向左；
（3）若帶電粒子射入電場的初速度v_x≥

4

9

v₀ ，帶電粒子第一次在磁場中運動的時間范圍是

127πm

180qB

≤t′≤

[3π-2(α+β)]m

qB

（其中：α=arctan

3

2

，β=arctan

4

3

）．