Question

【題目】半徑為R的水平圓臺，可繞通過圓心O的豎直光滑細軸CC′轉動，如圖所示，圓臺上沿相互垂直的兩個半徑方向刻有凹槽，質量為mA的物體A放在一個槽內，物體A與槽底間的動摩擦因數為μ，質量為mB的物體B放在另一個槽內，此槽是光滑的．AB間用一長為l（l＜R）且不可伸長的輕繩繞過細軸相連．已知圓臺做勻速轉動，且A、B兩物體相對圓臺不動（A、B兩物體可視為質點，物體的最大靜摩擦力近似等于滑動摩擦力）．

（1）當圓臺轉動的角速度為ω0 ， OA的長度為l1時，試寫出A、B兩個物體受到的向心力大小的表達式．
（2）不論圓臺轉動的角速度為多大，要使物體A和槽之間恰好沒有摩擦力，則OA的長為多大？
（3）設OA長為x，試分析圓臺的角速度ω和物體A到圓心的距離x所應滿足的條件．

Answer 1

【答案】
（1）

解：由向心力公式可得：

A向心力大小的表達式：FA=mAω02l1

B的向心力：FB=mBω02（l﹣l1）

（2）

解：設OA長為l1，則OB為l﹣l1；

F=mAω2l1

F=mBω2（l﹣l1）

解得

（3）

解：當A、B兩物體相對轉臺靜止且恰無摩擦時，物體A、B的動力學方程分別為

F=mAω2x，F=mBω2（l﹣x），聯立解得

當A、B兩物體相對轉臺靜止且A恰沒有做遠離軸心的運動時，物體A、B的動力學方程分別為

F+μmAg=mAω2x，F=mBω2（l﹣x）

，

當A、B兩物體相對轉臺靜止且A恰沒有做向軸心的運動時，物體A、B的動力學方程分別為

F﹣μmAg=mAω2x，F=mBω2（l﹣x）

，

綜上分析可知

【解析】（1）已知轉動角速度，由題意可知兩物體的轉動半徑，由向心力公式可求得向心力大小的表達式；（2）要使A球不受摩擦力，應使繩子的拉力充當兩物體的向心力，則兩球需要的向心力相等，聯立兩式可解得距離；（3）可分為兩物體恰無摩擦力、A恰好達到最大靜摩擦力和B恰好達到最大靜摩擦力三種情況分析，由牛頓第二定律可得出角速度及距離的可能值．
【考點精析】通過靈活運用向心力，掌握向心力總是指向圓心，產生向心加速度，向心力只改變線速度的方向，不改變速度的大小；向心力是根據力的效果命名的.在分析做圓周運動的質點受力情況時，千萬不可在物體受力之外再添加一個向心力即可以解答此題．