Question

為了使粒子經過一系列的運動后，又以原來的速率沿相反方向回到原位，可設計如下的一個電磁場區域（如圖所示）：水平線QC以下是水平向左的勻強電場，區域Ⅰ(梯形PQCD)內有垂直紙面向里的勻強磁場，磁感應強度為B；區域Ⅱ(三角形APD)內的磁場方向與Ⅰ內相同，但是大小可以不同，區域Ⅲ(虛線PD之上、三角形APD以外)的磁場與Ⅱ內大小相等、方向相反。已知等邊三角形AQC的邊長為2l，P、D分別為AQ、AC的中點。帶正電的粒子從Q點正下方、距離Q點為l的O點以某一速度射出，在電場力作用下從QC邊中點N以速度v₀垂直QC射入區域Ⅰ，再從P點垂直AQ射入區域Ⅲ，又經歷一系列運動后返回O點。（粒子重力忽略不計）求：

（1）該粒子的比荷；

（2）求在磁場III區中圓周運動半徑的可能值；

（3）粒子從O點出發再回到O點的整個運動過程所需時間。

 

Answer 1

（1）（2）r = l/(4n +1)     其中n = 0，1，2…（3）見解析

解析:（1）根據牛頓第二定律和洛侖茲力表達式有

                                       ①

 代入R=l，解得                           ②

（2）若粒子在區域Ⅱ和Ⅲ內的運動如圖甲所示，則總路程為（2n + 5/6）個圓周，根據幾何關系有

AP= (4nr + r) = l            ③       

解得     r = l/(4n + 1)     其中n = 0，1，2……

(3) 帶電粒子電磁場中運動的總時間包括三段：電場中往返的時間t₀、區域Ⅰ中的時間t₁、區域Ⅱ和Ⅲ中的時間t₂＋t₃，根據平拋運動規律有

帶電粒子進入區域Ⅰ前的時間          ④

設在區域Ⅰ中的時間為t₁，則    

                 ⑤           

區域Ⅱ和Ⅲ內總路程為  s=（2n +5/6）×2πr   　 ⑥

區域Ⅱ和Ⅲ內總時間為t₂＝＝  

總時間為t=2t₀+2t₁+t₂=      （n = 0，1，2……）        ⑦

 

 

                 圖甲                               圖乙

 

若粒子在區域Ⅱ和Ⅲ內運動如圖乙所示，則總路程為（2n +1＋1/6）個圓周，根據幾何關系有：

 (4nr +3r) = l                           

解得     r = l/(4n + 3)     其中n = 0，1，2……

區域Ⅱ和Ⅲ內總路程為  s=（2n +1＋1/6）×2πr＝

區域Ⅱ和Ⅲ內總時間為t₂＝＝

總時間t=2t₀+2t₁+t₂=                ⑧

說明：兩種解得出一種的得10分，補全另一種的給3分。