Question

在豎直平面內，一根光滑金屬桿彎成如圖所示形狀，相應的曲線方程為y=2.5cos（kx+2π/3）m，式中k=1m^-1．將一光滑小環套在該金屬桿上，并從x=0處以v₀=5m/s的初速度沿桿向下運動，取重力加速度g=10m/s²．求：
（1）當小環運動到x=π/3m時的速度多大？
（2）該小環在x軸方向最遠能運動到多遠處．

Answer 1

分析：本題（1）的關鍵是根據曲線方程求出小環在x=0和x=

π

3

時對應的縱坐標值，然后根據動能定理即可求解；題（2）的關鍵是明確小環運動到最遠的含義是末速度等于0時，根據動能定理可求出此過程發生的位移h，然后根據h=

y

1

-y

2

求出

y

，代入曲線方程即可求出x．

解答：解：（1）當x=0時，

y

1

=2.5cos

2

3

π=-1.25m，當x=

π

3

時，

y

2

=2.5cosπ=-2.5m，由此可知，小環下落的高度為△y=

y

1

-y

2

=-1.25m-2.5m=1.25m，由動能定理得：
mg△y=

1

2

m

v

2

-

1

2

mv

2 0

，代入數值得：v=5

2

m/s．
（2）當小環速度為零時，設上升的高度為h，由動能定理得：-mgh=0-

1

2

m

v

2 0

，解得h=

v 2 0

2g

=1.25m，即

y

1

-y

2

=h=1.25，解得

y

2

=0，即當y=0時小環速度為零，所以有2.5cos（kx+

2

3

π）=0，解得x=

5π

6

m．
答：（1）當小環運動到x=

π

3

m時的速度為5

2

m/s．
    （2）該小環在x軸方向最遠能運動到

5π

6

m遠處．

點評：明確曲線方程與位移方程的區別，對做曲線運動的物體應用動能定理求解速度的大小．