Question

在地面上方某處的真空室里存在著水平方向的勻強(qiáng)電場，以水平向右和豎直向上為x軸、y軸正方向建立如圖所示的平面直角坐標(biāo)系．一質(zhì)量為m、帶電荷量為+q的微粒從點(diǎn)P（l，0）由靜止釋放后沿直線PQ運(yùn)動(dòng)．當(dāng)微粒到達(dá)點(diǎn)Q（0，-l）的瞬間，突然將電場方向順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°，同時(shí)加上一個(gè)垂直于紙面向外的勻強(qiáng)磁場（圖中未畫出），磁感應(yīng)強(qiáng)度的大小B=

2m

q

g l

，該磁場有理想的下邊界，其他方向范圍無限大．已知重力加速度為g．求：
（1）勻強(qiáng)電場的場強(qiáng)E的大小
（2）欲使微粒不從磁場下邊界穿出，該磁場下邊界的y軸坐標(biāo)值應(yīng)滿足什么條件？
（3）求微粒從P點(diǎn)開始運(yùn)動(dòng)到第二次經(jīng)過y軸所需要的時(shí)間．

Answer 1

分析：（1）微粒在電場中受到電場力和重力，沿PQ方向運(yùn)動(dòng)，可知微粒所受的合力必定沿PQ方向，可知電場力方向水平向左，作出力的合成圖，求解場強(qiáng)大小．
（2）電場方向順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°所受電場力的方向豎直向山，和重力平衡，再加上磁場后，做勻速圓周運(yùn)動(dòng)，臨界條件是最低端速度與磁場下邊界相切；
（3）微粒從P點(diǎn)開始運(yùn)動(dòng)到第二次經(jīng)過y軸所需要的時(shí)間為由P到O勻加速直線運(yùn)動(dòng)的時(shí)間和勻速圓周運(yùn)動(dòng)的時(shí)間之和．

解答：解：（1）由于微粒沿PQ方向運(yùn)動(dòng)，可知微粒所受的合力沿PQ方向，可得
   qE=mgcotα…①
由題意得α=45°…②
①②聯(lián)立得：E=

mg

q

（2）電場方向順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°所受電場力的方向豎直向山，和重力平衡，再加上磁場后，做勻速圓周運(yùn)動(dòng)，運(yùn)動(dòng)軌跡如圖所示

由P到Q由牛頓第二定律得：a=

2 mg

m

=

2

g
由v²=2al得；Q點(diǎn)的速度為   vQ=

2a 2 l

=

2 2 gl 2

=

4gl

…③
在磁場中洛倫茲力提供向心力得：BqvQ=

mvQ2

r

…④
③④聯(lián)立得：r=l…⑤
由幾何關(guān)系可得：磁場下邊界距x軸的距離為；y0=2l-

2

2

l 
邊界越靠下越飛不出磁場，故y≤-(2l-

2

2

l)
（3）粒子由P到O的時(shí)間為t1，由v=at得：
t1=

vQ

a

=

4gl

2 g

=

2l g

…⑥
粒子在復(fù)合場中的勻速圓周運(yùn)動(dòng)如圖所示：
          

粒子的周期T=

2πr

vQ

…⑦
由幾何關(guān)系可得粒子的偏轉(zhuǎn)角為β=270°
則粒子在磁場中運(yùn)動(dòng)的時(shí)間為  t2=

β

360

T=

3

4

T…⑧
③⑤⑧聯(lián)立求解得：t2=

3π

4

l g

微粒從P點(diǎn)開始運(yùn)動(dòng)到第二次經(jīng)過y軸所需要的時(shí)間
t=t1+t2=

2l g

+

3π

4

l g

答：（1）勻強(qiáng)電場的場強(qiáng)E的大小為E=

mg

q

（2）欲使微粒不從磁場下邊界穿出，該磁場下邊界的y軸坐標(biāo)值應(yīng)滿足y≤-(2l-

2

2

l)
（3）求微粒從P點(diǎn)開始運(yùn)動(dòng)到第二次經(jīng)過y軸所需要的時(shí)間為

2l g

+

3π

4

l g

點(diǎn)評：本題中微粒在電場中做直線運(yùn)動(dòng)，抓住質(zhì)點(diǎn)做直線運(yùn)動(dòng)的條件：合力與速度共線分析并求解場強(qiáng)的大小．加上磁場后，運(yùn)用分解的方法研究洛倫茲力，此法不常用，要嘗試運(yùn)用．