Question

【題目】質量為m的鋼板與直立輕彈簧的上端連接，彈簧下端固定在地上．平衡時，彈簧的壓縮量為X0 ， 如圖所示．一物塊從鋼板正上方距離為3X0的A處自由落下，打在鋼板上并立刻與鋼板一起向下運動，但不粘連，它們到達最低點后又向上運動．已知物體質量也為m時，它們恰能回到O點；若物塊質量為2m，仍從A處自由落下，則物塊與鋼板回到O點時，還具有向上的速度v，物塊向上運動到達的最高點與O點的距離為h，求：

（1）彈簧在初始狀態時的彈性勢能Ep；
（2）當物塊質量為2m時，物塊與鋼板回到O點時的速度，
（3）當物塊質量為2m時，物塊向上運動到達最高點與O點的距離h．

Answer 1

【答案】
（1）解：物塊與鋼板碰撞時的速度由機械能守恒，得：

…①

設v1表示質量為m的物塊鋼板碰撞后一起向下運動的速度，因碰撞時間極短，系統所受外力遠小于相互作用的內力，符合動量守恒，選取向下為正方向，故有：

mv0=2mv1…②

設剛碰完時彈簧的彈性勢能為Ep，當他們一起回到O點時，彈簧無形變，彈簧勢能為零，根據題意，由機械能守恒得：

…③

聯立得：Ep=

答：彈簧在初始狀態時的彈性勢能是 ；

（2）解：設v2表示質量為2m的物塊與鋼板碰后開始一起向下運動的速度，由動量守恒，則有：

2mv0=3mv2…④

設剛碰完時彈簧勢能為Ep′，它們回到O點時，彈性勢能為零，但它們仍繼續向上運動，設此時速度為v，則由機械能守恒定律得：

…⑤

在上述兩種情況下，彈簧的初始壓縮量都是x0，故有：Ep′=Ep…⑥

聯立得：v=

答：當物塊質量為2m時，物塊與鋼板回到O點時的速度是 ；

（3）解：當質量為2m的物塊與鋼板一起回到O點時，彈簧的彈力為零，物塊與鋼板只受到重力的作用，加速度為g，一過O點，鋼板受到彈簧向下的拉力作用，加速度大于g，由于物塊與鋼板不粘連，物塊不可能受到鋼板的拉力，其加速度仍為g，方向向下，故在O點物塊與鋼板分離．分離后，物塊以速度v豎直上升，由豎直上拋最大位移公式得 ，而

所以物塊向上運動到達的最高點距O點的距離h= ．

答：當物塊質量為2m時，物塊向上運動到達最高點與O點的距離h是 ．

【解析】（1）首先分析物體過程：物體先自由下落，機械能守恒．物塊與鋼板碰撞時，因碰撞時間極短，系統所受外力遠小于相互作用的內力，遵守動量守恒定律．碰撞后，彈簧、物塊與鋼板組成的系統機械能守恒．根據機械能守恒求出物塊與鋼板碰撞前瞬間速度，再由動量守恒定律求解碰后速度v；
（2）兩者以共同速度向下運動恰返回O點，說明此位置速度為零．運動過程中機械能守恒．列式求解．
（3）由題碰撞后，物塊與鋼板回到O點時，此時彈簧的彈性勢能與未碰撞時相等．根據動量守恒定律、機械能守恒定律和相等的條件分別研究物塊質量為m和2m的情況，再求解物塊向上運動到達最高點O點的距離．
【考點精析】本題主要考查了機械能守恒及其條件和動量守恒定律的相關知識點，需要掌握在只有重力（和彈簧彈力）做功的情形下，物體動能和重力勢能（及彈性勢能）發生相互轉化，但機械能的總量保持不變；動量守恒定律成立的條件：系統不受外力或系統所受外力的合力為零；系統所受的外力的合力雖不為零，但系統外力比內力小得多；系統所受外力的合力雖不為零，但在某個方向上的分量為零，則在該方向上系統的總動量的分量保持不變才能正確解答此題．