Question

【題目】如圖，用一根長為L＝1m的細線，一端系一質量為m＝1kg的小球（可視為質點），另一端固定在一光滑錐體頂端，錐面與豎直方向的夾角θ＝37°，當小球在水平面內繞錐體的軸做勻速圓周運動的角速度為ω時，細線的張力為T。求（g＝10m/s2，sin370=3/5,cos370=4/5,計算結果可用根式表示）：

（1）若要小球離開錐面，則小球的角速度ω0至少為多大？

（2）若細線與豎直方向的夾角為60°，則小球的角速度ω＇為多大？

（3）細線的張力T與小球勻速轉動的加速度ω有關，當ω的取值范圍在0到ω＇之間時，請通過計算求解T與ω2的關系，并在坐標紙上作出T—ω2的圖象，標明關鍵點的坐標值。

Answer 1

【答案】（1）12．5rad/s（2）（3）見解析圖

【解析】

試題分析：（1）小球剛要離開錐面時的速度，此時支持力為零，根據牛頓第二定律得：mgtanθ＝mω02lsinθ

解得

（2）若細線與豎直方向的夾角為60°時，小球離開錐面，由重力和細線拉力的合力提供向心力，由牛頓第二定律得：mgtan60°=mω′2lsin60°

得，

（3）a．當ω1=0時 T1=mgcosθ=8N，標出第一個特殊點坐標（ 0，8N）；

b．當0＜ω＜rad/s時，根據牛頓第二定律得：TsinθNcosθ＝mω 2lsinθ

Tcosθ+Nsinθ＝mg

得，T＝mgcosθ+mlω2sin2θ＝8+ω2

當ω2＝rad/s時，T2=12．5N 標出第二個特殊點坐標[12．5（rad/s）2，12．5N]；

c．當rad/s≤ω≤rad/s時，小球離開錐面，設細線與豎直方向夾角為β

T3sinβ＝mω2lsinβ

∴T3＝mlω2

當ω＝ω′＝rad/s時，T3=20N

標出第三個特殊點坐標[20（rad/s）2，20N]．

畫出T-ω2圖象如圖所示．