Question

如圖所示，有一柔軟鏈條全長(zhǎng)為L(zhǎng)=1.0m，質(zhì)量均勻分布，總質(zhì)量為M=2.0kg．鏈條均勻帶正電，總帶電量Q=1.0×10^-6C、將鏈條放在離地足夠高的水平絕緣桌面上．空間存在豎直向下的勻強(qiáng)電場(chǎng)，電場(chǎng)強(qiáng)度的大小E=2.0×10⁷V/m．若桌面與鏈條之間的動(dòng)摩擦因數(shù)為μ=0.5，鏈條在桌面上運(yùn)動(dòng)時(shí)電量保持不變（重力加速度取g=10m/s²）．給鏈條一個(gè)向右的初動(dòng)能，試求：
（1）當(dāng)桌面下的鏈條多長(zhǎng)時(shí)，桌面下的鏈條所受到的重力恰好等于鏈條受到的滑動(dòng)摩擦力；
（2）能使鏈條從桌面上全部滑下所需的最小初動(dòng)能．

Answer 1

分析：（1）設(shè)桌面下的鏈條長(zhǎng)為x，鏈條質(zhì)量分布均勻，所以在桌面下的鏈條的質(zhì)量為

xM

L

，鏈條的重心還在桌面上，所以對(duì)桌子的壓力等于整個(gè)鏈條的重力加上電場(chǎng)力，根據(jù)兩者相等即可求解；
（2）結(jié)合下垂鏈條受到的重力加上電場(chǎng)力等于滑動(dòng)摩擦力時(shí)，求出下垂的長(zhǎng)度，根據(jù)動(dòng)能定理，抓住開(kāi)始自由下滑時(shí)的速度正好為零，根據(jù)動(dòng)能定理即可求解；

解答：解：設(shè)桌面下的鏈條長(zhǎng)為x，鏈條質(zhì)量分布均勻，所以在桌面下的鏈條的質(zhì)量為

xM

L

，則有：

xM

L

g=μ

L-x

L

（Mg+QE），
解得x=0.5 m，
（2）當(dāng)下垂鏈條受到的重力加上電場(chǎng)力等于滑動(dòng)摩擦力時(shí)，是能使鏈條全部從桌面上滑下的臨界情況．
根據(jù)平衡條件：

x

L

Mg+

x

L

QE=μ(

L-x

L

mg+

L-x

L

QE)
求得：x=

1

3

L=

1

3

m
當(dāng)鏈條垂下

1

3

m時(shí)，重力+電場(chǎng)力=滑動(dòng)摩擦力，則如果繼續(xù)下滑，重力就大于滑動(dòng)摩擦力了．所以鏈條下滑

1

3

m后就會(huì)自動(dòng)下滑，鏈條所需要的最小初動(dòng)能是能夠讓它下滑

1

3

m所需的能量．
根據(jù)動(dòng)能定理：0-Ek=

Mg

3

×

x

2

+

QE

3

×

x

2

-

f1+f2

2

×x
代入數(shù)據(jù)得，0-Ek=

20

3

×

1

6

+

20

3

×

1

6

-

20+ 4 3

2

×

1

3

解得Ek=

10

3

J．
答：（1）當(dāng)桌面下的鏈條0.5m時(shí)，桌面下的鏈條所受到的重力恰好等于鏈條受到的滑動(dòng)摩擦力；
（2）從桌面上滑下全部鏈條所需的最小初動(dòng)能為

10

3

J．

點(diǎn)評(píng)：解決本題要知道最大靜摩擦力約等于滑動(dòng)摩擦力，關(guān)鍵找出臨界狀態(tài)，然后結(jié)合功能關(guān)系列式求解，較難．