Question

 (2012年四月天津武清區一模)2010年上海世博會某國家館內，有一“發電”地板，利用游人走過此處，踩踏地板發電。其原因是地板下有一發電裝置，如圖l所示，裝置的主要結構是一個截面半徑為r、匝數為n的線圈，緊固在與地板相連的塑料圓筒P上。磁場的磁感線沿半徑方向均勻分布，圖2為橫截面俯視圖。輕質地板四角各連接有一個勁度系數為k的復位彈簧(圖中只畫出其中的兩個)。當地板上下往返運動時，便能發電。若線圈所在位置磁感應強度大小為B，線圈的總電阻為R₀，現用它向一個電阻為R的小燈泡供電。為了便于研究，將某人走過時地板發生的位移一時間變化的規律簡化為圖3所示。(取地板初始位置x=0，豎直向下為位移的正方向，且彈簧始終處在彈性限度內。)

（1）取圖2中逆時針方向電流為正方向，請在圖4所示坐標系中畫出線圈中感應電流i隨時間t變化的圖線，并標明相應縱坐標。要求寫出相關的計算和判斷過程。

（2）t= t₀/2時地板受到的壓力。

（3）求人踩踏一次地板所做的功。

Answer 1

解：（1）0~t₀時間，地板向下做勻速運動，其速度v=x₀/t₀，線圈切割磁感線產生的感應電動勢e=nB·2πrv=2nBπrx₀/t₀，感應電流i= e/R=2nBπrx₀/Rt₀；0~t₀時間，地板向下做勻速運動，其速度v=x₀/t₀，線圈切割磁感線產生的感應電動勢e=-nB·2πrv=-2nBπrx₀/t₀，感應電流i= e/R=-2nBπrx₀/Rt₀；

（2）t= t₀/2時，地板向下位移x₀/2，彈簧彈力kx₀/2，安培力為nBi2πr=2nBiπr，

由平衡條件可知，地板受到的壓力F= kx₀/2+2nBiπr。

（3）由功能關系可得人踩踏一次地板所做的功W=2i²R t₀=4n²B²π²r²x₀²/Rt₀。