Question

在光滑水平面上有質量均為lkg，半徑均為5cm的A、B兩個小球．如圖所示，小球．A從很遠處以水平速度v₀=2m/s向右正對B球運動，從某時刻兩小球間開始有F=2N的恒定引力作用．在經過一段時間后，兩球間距縮小4m，從此時刻起，兩球間開始有F'=2N的恒定斥力作用．
（1）兩球從開始有引力作用到開始有斥力作州經歷時間為多少？
（2）為了使兩球不相碰，開始有斥力時兩球球心間距離應滿足什么條件？

Answer 1

分析：（1）根據牛頓第二定律求得兩球的加速度，由位移公式和位移之和等于4m列式求解時間．
（2）兩球間開始有斥力后，A球先做勻減速運動，B球先做勻減速運動到速度為零，后再反方向加速，兩球速度相等之前，兩球間的距離一直減小，之后就逐漸增大，如果在兩球速度相等之前不相碰，以后就不會相碰．根據速度公式和速度相等的關系列式，求解出兩球開始時有斥力時的速度，運用運動學速度位移關系公式求解即可．

解答：解：（1）當兩球間有引力作用時，設兩球的加速度大小分別為：a_A和a_B．由牛頓第二定律得：
   a_A=a_B=

F

m

=

2

1

=2m/s²．
再由位移關系得：v_At+

1

2

aAt2+

1

2

aBt2=4
聯立解得 t=1s
（2）設兩球開始時有斥力作用時的速度大小分別為v_A和v_B，則
  v_A=v₀+a_At，v_B=a_Bt；
分析兩球的運動情況：兩球間開始有斥力后，A球先做勻減速運動，B球先做勻減速運動到速度為零，后再反方向加速，兩球速度相等之前，兩球間的距離一直減小，之后就逐漸增大，如果在兩球速度相等之前不相碰，以后就不會相碰．設這段時間為t′，共同速度為v，開始有斥力時兩球球心間距離為S，兩球的加速度大小仍相同，并為a_A=a_B=2m/s²．
取v_A的方向為正方向，v=v_A-a_At′，v=-v_B+a_Bt′
聯立以上方程解得：v_A=4m/s，v_B=2m/s，v=1m/s
兩球的位移分別為：S_A=

v 2 A -v2

2aA

，S_B=

v 2 B -v2

2aB

不相碰應滿足：S_A+S_B+2r≤S
代入數據解得：S≥4.6m
答：
（1）兩球從開始有引力作用到開始有斥力作州經歷時間為是1s．
（2）為了使兩球不相碰，開始有斥力時兩球球心間距離應滿足大于等于4.6m．

點評：解決本題的關鍵是抓住兩球的相互作用力是恒力，兩球都做勻變速運動，根據牛頓第二定律和運動學公式分析兩球的運動過程，抓住兩球速度相同時，相距最遠是關鍵．