Question

如圖所示，“×”型光滑金屬導(dǎo)軌abcd固定在絕緣水平面上，ab和cd足夠長(zhǎng)，∠aOc=60°。虛線MN與∠bOd的平分線垂直，O點(diǎn)到MN的距離為L(zhǎng)。MN左側(cè)是磁感應(yīng)強(qiáng)度大小為B、方向豎直向下的勻強(qiáng)磁場(chǎng)。一輕彈簧右端固定，其軸線與∠bOd的平分線重合，自然伸長(zhǎng)時(shí)左端恰在O點(diǎn)。一質(zhì)量為m的導(dǎo)體棒ef平行于MN置于導(dǎo)軌上，導(dǎo)體棒與導(dǎo)軌接觸良好。某時(shí)刻使導(dǎo)體棒從MN的右側(cè)L/4處由靜止開(kāi)始釋放，導(dǎo)體在被壓縮彈簧的作用下向左運(yùn)動(dòng)，當(dāng)導(dǎo)體棒運(yùn)動(dòng)到O點(diǎn)時(shí)彈簧與導(dǎo)體棒分離。導(dǎo)體棒由MN運(yùn)動(dòng)到O點(diǎn)的過(guò)程中做勻速直線運(yùn)動(dòng)。導(dǎo)體棒始終與MN平行。已知導(dǎo)體棒與彈簧彼此絕緣，導(dǎo)體棒和導(dǎo)軌單位長(zhǎng)度的電阻均為r₀，彈簧被壓縮后所獲得的彈性勢(shì)能可用公式計(jì)算，k為彈簧的勁度系數(shù)，x為彈簧的形變量。
（1）證明：導(dǎo)體棒在磁場(chǎng)中做勻速直線運(yùn)動(dòng)的過(guò)程中，感應(yīng)電流的大小保持不變；
（2）求彈簧的勁度系數(shù)k和導(dǎo)體棒在磁場(chǎng)中做勻速直線運(yùn)動(dòng)時(shí)速度v₀的大��；
（3）求導(dǎo)體棒最終靜止時(shí)的位置距O點(diǎn)的距離。

Answer 1

解：（1）設(shè)導(dǎo)體棒在磁場(chǎng)中做勻速直線運(yùn)動(dòng)時(shí)的速度為v₀，某時(shí)刻導(dǎo)體棒在回路中的長(zhǎng)度為l，則此時(shí)感應(yīng)電動(dòng)勢(shì)
此時(shí)回路的電阻
回路中的感應(yīng)電流 ①
因?yàn)锽、v₀和r₀均為不變量，所以感應(yīng)電流I為不變量
（2）釋放導(dǎo)體棒后，在未進(jìn)入磁場(chǎng)的過(guò)程中，導(dǎo)體棒和彈簧組成的系統(tǒng)機(jī)械能守恒，則有 ②
導(dǎo)體棒在磁場(chǎng)中做勻速直線運(yùn)動(dòng)的過(guò)程中，設(shè)某時(shí)刻導(dǎo)體棒距O的距離為x，根據(jù)牛頓第二定律有 ③
由①②③解得 ④
 ⑤
（3）導(dǎo)體棒過(guò)O點(diǎn)后與彈簧脫離，在停止運(yùn)動(dòng)前做減速運(yùn)動(dòng)。設(shè)某時(shí)刻導(dǎo)體棒距O點(diǎn)的距離為x，導(dǎo)體棒在回路中的長(zhǎng)度為l，加速度為a，速度為v，回路中的電流強(qiáng)度為I，根據(jù)牛頓第二定律有
又因?yàn)?IMG style="VERTICAL-ALIGN: middle" border=0 src="http://thumb.zyjl.cn/pic1/upload/papers/g04/20110907/20110907145344287960.gif">
所以 ⑥
取一段很短的時(shí)間，導(dǎo)體棒在回路中的長(zhǎng)度為l、加速度為a和速度為v，l、a和v可認(rèn)為不變。設(shè)在這段時(shí)間內(nèi)導(dǎo)體棒速度的變化量大小為，回路所圍面積的變化量為。將⑥式左右兩邊同時(shí)乘以，可得
則導(dǎo)體棒從O點(diǎn)開(kāi)始運(yùn)動(dòng)到靜止的過(guò)程可表示為
即
所以

設(shè)導(dǎo)體棒最終靜止的位置距O點(diǎn)的距離為x₀，則 ⑦
由⑤⑦式可解得