Question

【題目】如圖所示，豎直固定平行放置的兩條相同長直導線1和2相距為（長直導線的長度），兩導線中通有方向和大小都相同的穩恒電流，電流方向向上，導線中正離子都是靜止的，每單位長度導線中正離子的電荷量為；形成電流的導電電子以速度沿導線向下勻速運動，每單位長度的導線中導電電子的電荷量為已知：單位長度電荷量為的無限長均勻帶電直導線在距其距離為處產生的電場的強度大小為，其中是常量；當無限長直導線通有穩恒電流時，電流在距導線距離為處產生的磁場的磁感應強度大小為，其中是常量。試利用狹義相對論中的長度收縮公式求常量和的比值？提示：忽略重力；正離子和電子的電荷量與慣性參照系的選取無關；真中的光速為

.

Answer 1

【答案】

【解析】

在相對于正離子靜止的參考系中，導線中的正離子不動，導電電子以速度向下勻速運動；在相對于導電電子靜止的參考系中，導線中導電電子不動，正離子以速度向上勻速運動. 下面分四步進行分析.

第一步，在參考系中，考慮導線2對導線1中正離子施加電場力的大小和方向.

若系中一些正離子所占據的長度為，則在系中這些正離子所占據的長度變為，由相對論中的長度收縮公式有，式中. ①

設在參考系和中，每單位長度導線中正離子電荷量分別為和，由于離子的電荷量與慣性參考系的選取無關，故. ②

由①和②式得. ③

設在系中一些導電電子所占據的長度為，在系中這些導電電子所占據的長度為，則由相對論中的長度收縮公式有. ④

同理，由于電子電荷量的值與慣性參考系的選取無關，便有

， ⑤

式中，和分別為在參考系和中單位長度導線中導電電子的電荷量.

在參照系中，導線2單位長度帶的電荷量為

. ⑥

它在導線1處產生的電場強度的大小為

. ⑦

電場方向水平向左. 導線1中電荷量為的正離子受到的電場力的大小為

. ⑧

電場力方向水平向左.

第二步，在參考系中，考慮導線2對導線1中正離子施加的磁場力的大小和方向.

在參考系中，以速度向上運動的正離子形成的電流大小為

. ⑨

導線2中的電流在導線1處產生的磁場的磁感應強度大小為

. ⑩

磁場方向垂直紙面向外，導線1中電荷量為的正離子所受到的磁場力的大小為

.

磁場力方向水平向右，與正離子所受到的電場力的方向相反.

第三步，在參考系中，考慮導線2對導線1中正離子施加的電場力和磁場力的大小和方向. 由題設條件，導線2所帶的正電荷與負電荷之和為零，即

.

因而，導線2對導線1中正離子施加的電場力為零，即

.

注意到在系中，導線1中正離子不動，即

.

導線2對導線1中正離子施加的磁場力為零，即

.

式中，是在系導線2中的電流在導線1處產生的磁場的磁感應強度大小. 于是，在系中，導線2對導線1中正離子施加的電場力和磁場力的合力為零.

第四步，已說明在系中導線2對導線1中正離子施加的電場力和磁場力的合力為零，如果導線1中正離子還受到其他力的作用，所有其他力的合力必為零（因為正離子靜止），在系中，導線2對導線1中正離子施加的電場力和磁場力的合力的大小為

.

因為相對系，上述可能存在的其他力的合力仍應為零，而正離子仍處于勻速運動狀態，所以式應等于零，故

.

由⑧式得：.

本題是第29屆全國中學生物理競賽復賽試題.作為參與物理競賽的學生，本題也許無須推導，僅從已知的電流的磁場與帶電導線的電場知識，記下相應的常量，便易知，但這樣肯定是不能得分的. 但若要按題目的要求，利用相對論的尺縮效應給予推導，如無超強的物理敏感性，幾乎找不到解決問題的入口.本題的命題方式無疑告訴我們，對于我們所學的知識，應不僅僅只會套公式解題，更應該掌握其內核，作更深入的探討，只有這樣，才能在新的物理情境面前游刃有余.本題也涉及了電荷量與慣性參照系的選擇無關.