Question

【題目】如圖，x為紙面內的一條直線，P、N是x上的兩個點，勻強磁場垂直紙面。兩個帶電粒子a、b分別從P、N同時開始在紙面內運動。a的初速度垂直x向上，運動軌跡如圖中虛線所示，O為圓心，PC是直徑，A是圓周上的點；b的初速度方向是紙面內所有可能的方向。

已知：AO連線垂直x，PO=OC=CN；a的初速度為v；a、b帶等量異種電荷，a的質量為b的兩倍，a、b間的相互作用力及所受重力不計。

（1）求a、b的周期之比；

（2）若a、b在A點相遇，求b的速度大小；

（3）b的速度小于某個臨界值v0時，a、b不可能相遇，求v0的大小。

Answer 1

【答案】(1) (2) (3)

【解析】（1）令a質量為m，電量為q，則b質量為0.5m，電量為-q，設磁感強度為B，

帶電粒子在磁場中做圓周運動，由： ①，②

可得： ③；由此求得： ④

（2）設a、b分別由P、N到A的時間分別為ta、tb，由

⑤； ⑥

由此可知，a粒子順時針轉了周時，b粒子逆時針轉了半周，也即NA的長度為粒子b做圓周運動的直徑。

設a粒子的軌道半徑為r； b粒子的速度大小為vb，運動軌道半徑為rb。由：

， ⑦

由幾何關系有： ⑧

聯立解得： ⑨

（3）假設b粒子的速度v’≥v0時，兩粒子能在圓周上的Q點相遇，如答圖所示，設PQ對應的圓心角為，

a粒子由P運動到Q點的時間為： ⑩

b粒子由N運動到Q點的時間為：

由此可知，b運動到Q的過程中，粒子b轉過弧長所對應的圓心角為，則

在中，由正弦定理得：

得： 即：

得： 又： （當NQ與OQ垂直時取等號）

于是得到： ；即