Question

【題目】如圖甲，單匝圓形線圈c與電路連接，電阻R2兩端與平行光滑金屬直導軌p1e1f1、p2e2f2連接．垂直于導軌平面向下、向上有矩形勻強磁場區域Ⅰ、Ⅱ，它們的邊界為e1e2 ， 區域Ⅰ中垂直導軌并緊靠e1e2平放一導體棒ab．兩直導軌分別與同一豎直平面內的圓形光滑絕緣導軌o1、o2相切連接，o1、o2在切點f1、f2處開有小口可讓ab進入，ab進入后小口立即閉合．
已知：o1、o2的直徑和直導軌間距均為d，c的直徑為2d；電阻R1、R2的阻值均為R，其余電阻不計；直導軌足夠長且其平面與水平面夾角為60°，區域Ⅰ的磁感強度為B0 ． 重力加速度為g．在c中邊長為d的正方形區域內存在垂直線圈平面向外的勻強磁場，磁感強度B隨時間t變化如圖乙所示，ab在t=0～ 內保持靜止．

（1）求ab靜止時通過它的電流大小和方向；
（2）求ab的質量m；
（3）設ab進入圓軌道后能達到離f1f2的最大高度為h，要使ab不脫離圓形軌道運動，求區域Ⅱ的磁感強度B2的取值范圍并討論h與B2的關系式．

Answer 1

【答案】
（1）

解：由法拉第電磁感應定律得c內感生電動勢 E=S =d2 ①

由全電路歐姆定律有 E=IR ②（R2被ab短路）

聯立①②解得：I= = ③

根據楞次定律和右手螺旋定則（或者平衡條件和左手定則）判斷知ab中電流方向為a→b ④

（2）

解：由題意可知導軌平面與水平面夾角為 θ=60°，

對在t=0～ 內靜止的ab受力分析有 mgsinθ=B0Id ⑤

聯立③⑤解得：m= = ⑥

（3）

解：由題意知t= 后，c內的磁感強度減為零，ab滑入區域Ⅱ，

由直導軌足夠長可知ab進入圓形軌道時已達勻速直線運動，

設此時ab為v，其電動勢為E2，電流為I2，

由平衡條件得 mgsinθ=B2I2d ⑦

由法拉第電磁感應定律得動生電動勢 E2=B2dv ⑧

由全電路歐姆定律有 E2= ⑨（R1、R2并聯）

聯立⑥⑦⑧⑨解得 v= = ⑩

由題意可知ab滑不過圓心等高點或者滑過圓軌道最高點均符合題意，分類討論如下：

（�。┊� mg 即 B2≥ 時，

ab上滑過程由動能定理得 mgh= ，即h=

（ⅱ） 設ab能滑到圓軌道最高點時速度為v1，根據牛頓第二定律應滿足 mg≤

所以當 ﹣mg （1+cosθ）≥ 即B2≤ 時，

ab能滑到圓軌道最高點，有 h= =

【解析】（1）ab靜止時，由法拉第電磁感應定律求出c內感生電動勢的大小，由歐姆定律求出電流的大小，由楞次定律判斷電流的方向．（2）ab靜止時受力平衡，重力沿導軌向下的分力與安培力二力平衡，由平衡條件列式可求ab的質量．（3）由題意知t= 后，c內的磁感強度減為零，ab滑入區域Ⅱ磁場，由于此段足夠長，ab最終應做勻速直線運動，由平衡條件可求出其勻速運動的速度表達式．要使ab不脫離圓形軌道運動，有兩種情況：ab滑不過圓心等高點或者滑過圓軌道最高，根據機械能守恒定律和圓周運動最高點的臨界條件結合解答．