Question

如圖所示，兩根足夠長(zhǎng)傾角為30°的平行導(dǎo)軌DE、GF，相距為d=0.5m，D、G間接有容量C=5000μF的電容器．長(zhǎng)為d，質(zhì)量m=20g的導(dǎo)體棒ab可在導(dǎo)軌上無(wú)摩擦滑動(dòng)，導(dǎo)體棒和導(dǎo)軌的電阻不計(jì)．整個(gè)裝置處在磁感應(yīng)強(qiáng)度為2.0T的勻強(qiáng)磁場(chǎng)中，磁場(chǎng)方向與導(dǎo)軌DE、GF所在的平面垂直．現(xiàn)使導(dǎo)體ab棒由靜止開(kāi)始滑下，經(jīng)時(shí)間t速度v=10m/s．整個(gè)過(guò)程電容器未被擊穿．求：
（1）t時(shí)刻電容器所帶的電量；
（2）t的大小；
（3）時(shí)間t內(nèi)有多少機(jī)械能轉(zhuǎn)化為電磁能．

Answer 1

分析：（1）導(dǎo)體棒向下運(yùn)動(dòng)切割磁感線產(chǎn)生感應(yīng)電動(dòng)勢(shì)，對(duì)電容器充電，根據(jù)E=Bdv求出t時(shí)刻導(dǎo)體棒產(chǎn)生的感應(yīng)電動(dòng)勢(shì)，因?qū)�體棒和導(dǎo)軌的電阻不計(jì)，電容器的電壓等于E，即可由Q=CU求出電容器的電量．
（2）對(duì)導(dǎo)體棒，根據(jù)牛頓第二定律和安培力公式列式得到加速度與電流的關(guān)系．對(duì)于電容器，有：I=

△Q

△t

=

C△U

△t

=

CBd△v

△t

=CBda，可推導(dǎo)出導(dǎo)體棒的加速度，判斷出導(dǎo)體棒做勻加速運(yùn)動(dòng)，再結(jié)合勻變速運(yùn)動(dòng)公式v=at，即可求得t．
（3）導(dǎo)體棒做勻加速運(yùn)動(dòng)，由公式v²=2aS求出棒ab在t時(shí)間內(nèi)下滑的距離S．根據(jù)能量守恒可求解轉(zhuǎn)化為電磁能的機(jī)械能．

解答：解：（1）t時(shí)刻電容器兩端的電壓為：U=E=Bdv
電容器所帶電量：Q=CU=CBdv=5×10^-3×2×0.5×10=0.05C
（2）棒ab沿導(dǎo)軌下滑時(shí)，根據(jù)牛頓第二定律有：mgsin30°-F=ma 
又棒所受的安培力為：F=BId
電路中電流為：I=

△Q

△t

=

C△U

△t

=

CBd△v

△t

=CBda
聯(lián)立以上三式得：a=

mgsin30°

m+CB2d2

=

2×10-2×10× 1 2

2×10-2+5×10-3×22×0．52

=4m/s²．
式中各量均不變，說(shuō)明加速度不變，導(dǎo)體棒做勻加速直線運(yùn)動(dòng)．
由勻變速運(yùn)動(dòng)公式得：v=at
得：t=

v

a

=

10

4

s=2.5s
（3）棒ab在t時(shí)間內(nèi)沿導(dǎo)軌下滑的距離S，由勻變速運(yùn)動(dòng)公式得：v²=2aS
得：S=

v2

2a

=

102

2×4

m=12.5m
時(shí)間t內(nèi)轉(zhuǎn)化為電磁能的機(jī)械能，則有：
△E_電=△E_機(jī)=mgSsin30°-

1

2

mv2=2×10^-2×10×12.5×0.5-

1

2

×2×10^-2×10²=0.25J．  
答：（1）t時(shí)刻電容器所帶的電量為0.05C；
（2）t的大小為2.5s；
（3）時(shí)間t內(nèi)有0.25J的機(jī)械能轉(zhuǎn)化為電磁能．

點(diǎn)評(píng)：本題關(guān)鍵是分析棒的受力情況，根據(jù)牛頓第二定律得到加速度的表達(dá)式，判斷出棒的運(yùn)動(dòng)性質(zhì)．再結(jié)合運(yùn)動(dòng)學(xué)公式和能量守恒求解．