Question

在豎直平面內固定一半徑為R的金屬細圓環，質量為m的金屬小球（視為質點）通過長為L的絕緣細線懸掛在圓環的最高點．當圓環、小球都帶有相同的電荷量Q（未知）時，發現小球在垂直圓環平面的對稱軸上處于平衡狀態，如圖所示．已知靜電力常量為k，則有（　　）

• A、繩對小球的拉力F=

  mgL

  R

• B、電荷量Q=

  mgL3 kR

• C、繩對小球的拉力F=

  mgL

  L2-R2

• D、電荷量Q=

  mg(L2-R2) 3 2 kR

Answer 1

分析：小球受到的庫侖力為圓環各點對小球庫侖力的合力，則取圓環上△x來分析，再取以圓心對稱的△x，這2點合力向右，距離L，豎直方向抵消，只有水平方向；求所有部分的合力Σ△m，即可求得庫侖力的表達式；小球受重力、拉力及庫侖力而處于平衡，則由共點力的平衡條件可求得繩對小球的拉力及庫侖力；則可求得電量．

解答：解：由于圓環不能看作點電荷，我們取圓環上一部分△x，設總電量為Q，則該部分電量為

△x

2πR

Q；
由庫侖定律可得，該部分對小球的庫侖力F₁=

KQ△XQ

2πL2R

，方向沿該點與小球的連線指向小球；
同理取以圓心對稱的相同的一段，其庫侖力與F₁相同；如圖所示，
兩力的合力應沿圓心與小球的連線向外，大小為

KQ2△X L2-R2

πL3R

；
因圓環上各點對小球均有庫侖力，故所有部分庫侖力的合力F_庫=

KQ2 L2-R2

L3

，方向水平向右；
小球受力分析如圖所示，小球受重力、拉力及庫侖力而處于平衡，故T與F的合力應與重力大小相等，方向相反；
由幾何關系可得：

T

L

=

mg

R

；
則小球對繩子的拉力T=

mgL

R

，故A正確，C錯誤；

F

L2-R2

=

mg

R

；
則F=

KQ2 L2-R2

L3

；
解得Q=

mgL3 kR

； 故B正確，D錯誤；
故選：AB．

點評：因庫侖定律只能適用于真空中的點電荷，故本題采用了微元法求得圓環對小球的庫侖力，應注意體會該方法的使用．
庫侖力的考查一般都是結合共點力的平衡進行的，應注意正確進行受力分析．