Question

【題目】如圖所示，在直角坐標系xOy平面的第Ⅱ象限內有半徑為R的圓O1分別與x軸、y軸相切于P（﹣R，0）、Q（0，R） 兩點，圓O1內存在垂直于xOy平面向外的勻強磁場，磁感應強度為B．與y軸負方向平行的勻強電場左邊界與y軸重合，右邊界交x軸于M點，一帶正電的粒子A（重力不計）電荷量為q、質量為m，以某一速率垂直于x軸從P點射入磁場，經磁場偏轉恰好從Q點進入電場，最后從M點以與x軸正向夾角為45°的方向射出電場．求：

（1）OM之間的距離；
（2）該勻強電場的電場強度E；
（3）若另有一個與A的質量和電荷量相同、速率也相同的粒子A′，從P點沿與x軸負方向成30°角的方向射入磁場，則粒子A′再次回到x軸上某點時，該點的坐標值為多少？

Answer 1

【答案】
（1）解：設粒子A速率為v0，其軌跡圓圓心在O點，故A運動至D點時速度與y軸垂直，粒子A從D至G作類平拋運動，

令其加速度為a，在電場中運行的時間為t，

則有：

x=OG=v0t …①

和 tan45°= = …②

聯立①②解得： = = tan45°=

故有：OG=2R…③

答：OG之間的距離2R；

（2）解：粒子A的軌跡圓半徑為R，由

得 …④

…⑤

聯立①③⑤得

解得：E=

答：該勻強電場的電場強度 ；

（3）解：令粒子A′軌跡圓圓心為O′，因為∠O′CA′=90°，O′C=R，以 O′為圓心，R為半徑做A′的軌跡圓交圓形磁場O1于H點，

則四邊形CO′H O1為菱形，故O′H∥y軸，粒子A′從磁場中出來交y軸于I點，HI⊥O′H，

所以粒子A′也是垂直于y軸進入電場的，令粒子A′從J點射出電場，交x軸于K點，

因與粒子A在電場中的運動類似，

∠JKG=45°，GK=GJ．

OI﹣JG=R

又OI=R+Rcos30°

解得：JG=Rcos30°= R

粒子A′再次回到x軸上的坐標為（2R+ R，0）

答：若另有一個與A的質量和電荷量相同、速率也相同的粒子A′，從C點沿與x軸負方向成30°角的方向射入磁場，則粒子A′再次回到x軸上某點時，該點的坐標值為（2R+ R，0）．

【解析】（1）從D至G作類平拋運動，根據平拋運動規律列方程求解OG之間的距離；（2）粒子在磁場中做勻速圓周運動，由圓周運動的半徑表示出粒子的速度，結合牛頓第二定律和運動學公式求出勻強電場的電場強度E；（3）結合題意作出所以粒子A′的運動軌跡，粒子A′也是垂直于y軸進入電場的，結合幾何知識求解粒子A′再次回到x軸上某點時，該點的坐標值．