Question

如圖所示是建筑工地上常用的一種“深穴打夯機”，電動機帶動兩個滾輪勻速轉動將夯桿從深坑提上來，當夯桿底端剛到達坑口時，兩個滾輪彼此分開，將夯桿釋放，夯桿在自身重力作用下，落回深坑，夯實坑底，夯桿不反彈，設夯桿與坑底的接觸時間為t=1.0s，然后兩個滾輪再次壓緊，將夯桿提上來，如此周而復始．已知兩個滾輪邊緣的線速度恒為v=4.0m/s，每個滾輪對夯桿的正壓力均為F=2.0×10⁴N，滾輪與夯桿間的動摩擦因數μ=0.30，夯桿質量m=1.0×10³kg，坑深h=6.4m．假定在打夯的過程中坑的深度不變，g=10m/s²，求：
（1）從夯桿開始向上運動到剛開始勻速運動，夯桿上升的高度H是多少？
（2）每個打夯周期（從夯桿剛離開坑底到下一次夯桿剛離開坑底的時間）中，電動機對夯桿做的功W；
（3）打夯周期T．

Answer 1

（1）對夯桿由牛頓第二定律得：
2μF-mg=ma，解得：a=2m/s²，
當夯桿速度增加到4m/s時，
夯桿上升的高度為：H=

v2

2a

，
解得：H=4m；
（2）電動機對夯桿所做的功等于夯桿增加的機械能，
W=E_P+E_K=mgh+

1

2

mv²=1.0×10³×10×6.4+

1

2

×1.0×10³×4²=7.2×10⁴J；
（3）夯桿從開始運動到落回原處共經歷四個運動過程：
向上勻加速運動、向上勻速運動、向上豎直上拋運動，向下自由落體運動．
勻加速運動的時間t₁=

v

a

=

4m/s

2m/s2

=2s，
勻速運動的時間t₂=

h-H

v

=

6.4m-4m

4m/s

=0.6s，
豎直上拋上升過程的運動時間t₃=

v

g

=

4m/s

10m/s2

=0.4s，
豎直上拋的位移h′=

v2

2g

=

42

2×10

=0.8m，
自由落體運動：h+h′=

1

2

gt₄²，
t₄=

2(h+h′) g

=

2×(6.4+0.8) 10

=1.2s，
打夯周期T=t₁+t₂+t₃+t₄=4.2s；
答：（1）從夯桿開始向上運動到剛開始勻速運動，夯桿上升的高度H是4m．
（2）每個打夯周期中，電動機對夯桿做的功為7.2×10⁴J．
（3）打夯周期為4.2s．