Question

滑板運動是一項陸地上的“沖浪運動”，具有很強的觀賞性．如圖所示，abcdef為同一豎直平面內的滑行軌道，其中bc段水平，ab、de和ef段均為傾角θ=37°的斜直軌道，軌道間均用小圓弧平滑相連（小圓弧的長度可忽略）．已知H₁=5m，L=15m，H₂=1.25m，H₃=12.75m，設滑板與軌道之間的摩擦力為它們間壓力的k倍（k=0.25），運動員連同滑板的總質量m=60kg．運動員從a點由靜止開始下滑從c點水平飛出，在de上著陸后，經短暫的緩沖動作后保留沿斜面方向的分速度下滑，接著在def軌道上來回滑行，除緩沖外運動員連同滑板可視為質點，忽略空氣阻力，取g=10m/s²，sin37°=0.6，cos37°=0.8．求：
（1）運動員從c點水平飛出時的速度大小v_c；
（2）運動員在de上著陸時，沿斜面方向的分速度大小v₀；
（3）設運動員第一次和第四次滑上ef軌道時上升的最大高度分別為h₁和h₄，則h₁：h₄等于多少？

Answer 1

分析：（1）設運動員從a點到c點的過程中克服阻力做功W_f，根據動能定理及摩擦力做功公式即可求解；
（2）運動員從c點水平飛出到落到de軌道上的過程中做平拋運動，設從c點到著陸點經過的時間為t，根據平拋運動的基本公式及幾何關系即可求解；
（3）設運動員第一次沿ed斜面向上滑的最大高度為h₁'，根據功能關系求出h₁'，同理可得，運動員第二次沿ef斜面向上滑的最大高度，以此類推，運動員第四次沿ef斜面向上滑的最大高度，即可求解．

解答：解：（1）設運動員從a點到c點的過程中克服阻力做功W_f，
根據動能定理得：
mgH1-Wf=

1

2

m

v

2 c

-0①
而Wf=kmgcosθ?

.

ab

+kmg?

.

bc

②
L=abcosθ+

.

bc

③
由①②③式并代入數據，解得v_c=5m/s④
（2）運動員從c點水平飛出到落到de軌道上的過程中做平拋運動，設從c點到著陸點經過的時間為t
水平位移x=v_xt⑤
豎直位移y=

1

2

gt2⑥
由幾何關系

y-H2

x

=tanθ⑦
水平方向分速度v_x=v_c⑧
豎直方向分速度v_y=gt⑨
v₀=v_xcosθ+v_ysinθ⑩
由④⑤⑥⑦⑧⑨⑩式并代入數據，解得v₀=10m/s
（3）設運動員第一次沿ed斜面向上滑的最大高度為h₁'，
根據功能關系mg(h1-

h

′ 1

)=kmgcosθ(

h1

sinθ

+

h ′ 1

sinθ

)
解得

h

′ 1

=

1

2

h1
同理可得，運動員第二次沿ef斜面向上滑的最大高度h2=

1

2

h

′ 1

=(

1

2

)2h1
以此類推，運動員第四次沿ef斜面向上滑的最大高度h4=(

1

2

)6h1
解得

h4

h1

=

1

64

答：（1）運動員從c點水平飛出時的速度大小v_c為5m/s；
（2）運動員在de上著陸時，沿斜面方向的分速度大小v₀為10m/s；
（3）設運動員第一次和第四次滑上ef軌道時上升的最大高度分別為h₁和h₄，則h₁：h₄等于1：64．

點評：本題主要考查了功能關系、動能定理及平拋運動基本公式的直接應用，知道平拋運動落在斜面上，豎直方向上的位移和水平方向上的位移的比值是定值，根據該關系可求出時間．難度適中．