Question

【題目】光子不僅具有能量，而且具有動(dòng)量。照到物體表面的光子被物體吸收或被反射時(shí)都會(huì)對物體產(chǎn)生一定的壓強(qiáng)，這就是“光壓”。光壓的產(chǎn)生機(jī)理與氣體壓強(qiáng)產(chǎn)生的機(jī)理類似：大量氣體分子與器壁的頻繁碰撞產(chǎn)生持續(xù)均勻的壓力，器壁在單位面積上受到的壓力表現(xiàn)為氣體的壓強(qiáng)。

在體積為V的正方體密閉容器中有大量的光子，如圖所示。為簡化問題，我們做如下假定：每個(gè)光子的頻率均為V，光子與器壁各面碰撞的機(jī)會(huì)均等，光子與器壁的碰撞為彈性碰撞，且碰撞前后瞬間光子動(dòng)量方向都與器壁垂直；不考慮器壁發(fā)出光子和對光子的吸收，光子的總數(shù)保持不變，且單位體積內(nèi)光子個(gè)數(shù)為n；光子之間無相互作用。已知：單個(gè)光子的能量s和動(dòng)量p間存在關(guān)系ε=pc（其中c為光速），普朗克常量為h。

(1)①寫出單個(gè)光子的動(dòng)量p的表達(dá)式（結(jié)果用c、h和ν表示）；

②求出光壓I的表達(dá)式（結(jié)果用n、h和ν表示）；

(2)類比于理想氣體，我們將題目中所述的大量光子的集合稱為光子氣體，把容器中所有光子的能量稱為光子氣體的內(nèi)能.

①求出容器內(nèi)光子氣體內(nèi)能U的表達(dá)式（結(jié)果用礦和光壓，表示）；

②若體積為V的容器中存在分子質(zhì)量為m、單位體積內(nèi)氣體分子個(gè)數(shù)為n'的理想氣體，分子速率均為v，且與器壁各面碰撞的機(jī)會(huì)均等；與器壁碰撞前后瞬間，分子速度方向都與器壁垂直，且速率不變。求氣體內(nèi)能U'與體積V和壓強(qiáng)p氣的關(guān)系；并從能量和動(dòng)量之間關(guān)系的角度說明光子氣體內(nèi)能表達(dá)式與氣體內(nèi)能表達(dá)式不同的原因。

Answer 1

【答案】(1)① ② (2)① ②

【解析】

（1）①光子的能量，根據(jù)題意可得

可得：

②在容器壁上取面積為S的部分，則在時(shí)間內(nèi)能夠撞擊在器壁上的光子總數(shù)為：

設(shè)器壁對這些光子的平均作用力為，則根據(jù)動(dòng)量定理

由牛頓第三定律，這些光子對器壁的作用力為

由壓強(qiáng)定義，光壓

（2）①設(shè)光子的總個(gè)數(shù)為N，則光子的內(nèi)能為

將上問中的帶入，可得

②一個(gè)分子每與器壁碰撞動(dòng)量變化大小為，以器壁上的面積S為底，以為高構(gòu)成柱體，由題設(shè)可知，柱內(nèi)的分子在時(shí)間內(nèi)有與器壁S發(fā)生碰撞，碰壁分子總數(shù)：

對這些分子用動(dòng)量定理，有：

則

由牛頓第三定律，氣體對容器壁的壓力大小

由壓強(qiáng)定義，氣壓

理想氣體分子間除碰撞外無作用力，故無分子勢能。所以容器內(nèi)所有氣體分子動(dòng)能之和即為氣體內(nèi)能，即

由上述推導(dǎo)過程可見：光子內(nèi)能的表達(dá)式與理想氣體內(nèi)能表達(dá)式不同的原因在于光子和氣體的能量動(dòng)量關(guān)系不同。對于光子能量動(dòng)量關(guān)系為，而對于氣體則為。