Question

天文工作者觀測某行星的半徑為R₁，自轉周期為T₁，它有一顆衛星，軌道半徑為R₂，繞行星公轉周期為T₂．
則（1）該行星的平均密度為多大？
（2）要在此行星的赤道上發射一顆同步人造衛星，使其軌道在赤道上方，則該人造衛星的軌道半徑為多大？

Answer 1

【答案】分析：1、根據萬有引力提供衛星圓周運動的向心力，可以列式求出行星的質量M，進一步求其密度；
2、該行星的同步衛星的周期與該行星的自轉周期相同，根據萬有引力提供向心力及速度與周期的關系式，以及第一問中求出行星質量M，化簡可得該人造衛星的軌道半徑．
解答：解：（1）設該行星的質量為M，衛星的質量為m，則對衛星 有：
   ①
又行星的體積為  ②
所以該行星的平均密度為  ③
（2）設該衛星的同步人造衛星的軌道半徑為r，有
    ④
所以由①④得，該人造衛星的軌道半徑．
答：
（1）該行星的平均密度為
（2）要在此行星的赤道上發射一顆同步人造衛星，使其軌道在赤道上方，則該人造衛星的軌道半徑為．
點評：解決本題的關鍵是根據萬有引力提供向心力、同步衛星的條件：同步衛星的周期等于行星的自轉周期，即可進行求解．