Question

（2013?重慶二模）為了獲得一束速度大小確定且方向平行的電子流，某人設計了一種實驗裝置，其截面圖如圖所示．其中EABCD為一接地的金屬外殼．在A處有一粒子源，可以同時向平行于紙面的各個方向射出大量的速率不等的電子．忽略電子間的相互作用力，這些電子進入一垂直于紙面向里的圓形區域勻強磁場后，僅有一部分能進入右側的速度選擇器MNPQ．已知圓形磁場半徑為R；速度選擇器的MN和PQ板都足夠長，板間電場強度為E（圖中未畫出電場線），勻強磁場垂直于紙面向里大小為B₂，電子的電荷量大小為e，質量為m．調節圓形區域磁場的磁感應強度B₁的大小，直到有電子從速度選擇器右側射出．求：
（1）速度選擇器的MN板帶正電還是負電？能從速度選擇器右側射出的電子的速度v₀大小、方向如何？
（2）是否所有從粒子源A處射出并進入磁場的速度大小為（1）問中v₀的電子，最終都能從速度選擇器右側射出？若能，請簡要證明，并求出圓形磁場的磁感應強度B₁的大小；若不能，請說明理由．（不考慮電子“擦”到金屬板的情形以及金屬板附近的邊界效應）
（3）在最終能通過速度選擇器的電子中，從圓形區域磁場出射時距AE為d=

R

2

的電子在圓形磁場中運動了多長時間？

Answer 1

分析：（1）電子從左側進入，能從右側射出的電子，所受洛倫茲力與電場力平衡，根據洛倫茲力的方向可以判定電場力的方向，從而得到極板的帶電情況；
（2）當粒子進入磁場中做圓周運動的半徑r=R時，根據幾何關系可以證明粒子運動軌跡確定粒子在磁場中偏轉角度與水平方向的夾角相等，即只要以v₀進入磁場后都能以水平方向速度進入速度選擇器，故根據半徑關系可以求出B₁的大小；
（3）作出粒子的運動軌跡，根據幾何關系求出粒子在圓形磁場中做圓周運動轉過的圓心角，根據t=

θ

2π

T求時間即可．

解答：解：（1）能通過速度選擇器的電子都滿足電場力和洛倫茲力平衡的粒子才可以通過速度選擇器，即能過速度選擇器的電子具有水平向右的速度，根據左手定則可以判定電子所受洛倫力方向豎直向下，故電場力方向豎直向上，從而確定MN板帶正電．
在速度選擇器中：
eE=ev₀B₂
∴v0=

E

B2

，方向平行于MN向右
（2）所有以速度v₀進入磁場的電子，都能從速度選擇器右側射出
如圖為從圓形磁場在側圓弧上任意一點F向右射出速度大小為v₀的電子運動軌跡

由幾何知識易證：∠O₁FA=∠OAF=∠OFA
故平行四邊形AOFO₁ 為菱形，O₁F=OF
即所有向右平行于MN射出磁場的電子，做圓周運動的半徑都等于圓形磁場區域的半徑．只要速度大小為v₀，其圓周運動的半徑就等于磁場區域半徑，都能向右射出磁場，并最終通過速度選擇器．
r=R
r=

mv

eB1

∴B1=

mv

eR

=

mE

eRB2

（3）如圖，

由幾何關系：O₁F=R，d=

R

2

可得：AF=R
即粒子在圓形磁場中偏轉的圓心角∠AO₁F=60°
粒子在B₁的磁場中做圓周運動的周期T=

2πm

eB1

=

2πm

e mE eRB2

=

2πRB2

E

粒子在圓形磁場中運動的時間t=

θ

2π

T=

1

6

T=

πRB2

3E

答：（1）速度選擇器的MN板帶正電，能從速度選擇器右側射出的電子的速度v₀大小為v0=

E

B2

方向水平向右．
（2）若圓形區域的磁場滿足B1=

mv

eR

=

mE

eRB2

，則所有從粒子源A處射出并進入磁場的速度大小為（1）問中v₀的電子，都最終都能從速度選擇器右側射出．
（3）在最終能通過速度選擇器的電子中，從圓形區域磁場出射時距AE為d=

R

2

的電子在圓形磁場中運動了的時間為：

πRB2

3E

．

點評：帶電粒子在磁場中的運動，重點要把握好“找圓心、求半徑”，注意畫出草圖，同時利用好幾何關系去分析粒子的運動過程．