Question

（09年西安鐵一中月考）（18分）如圖所示，半徑R=0.8m的光滑1/4圓弧軌道固定在光滑水平面上，軌道上方的A點(diǎn)有一個(gè)可視為質(zhì)點(diǎn)的質(zhì)量m=1kg的小物塊。小物塊由靜止開始下落后打在圓弧軌道上的B點(diǎn)但未反彈，在該瞬間碰撞過程中，小物塊沿半徑方向的分速度即刻減為零，而沿切線方向的分速度不變，此后小物塊將沿著圓弧軌道滑下。已知A點(diǎn)與軌道的圓心O的連線長(zhǎng)也為R，且AO連線與水平方向的夾角為30°，C點(diǎn)為圓弧軌道的末端，緊靠C點(diǎn)有一質(zhì)量M=3kg的長(zhǎng)木板，木板的上表面與圓弧軌道末端的切線相平，小物塊與木板間的動(dòng)摩擦因數(shù)，g取10m/s²。求：

（1）小物塊剛到達(dá)B點(diǎn)時(shí)的速度；

（2）小物塊沿圓弧軌道到達(dá)C點(diǎn)時(shí)對(duì)軌道壓力F_C的大小；

（3）木板長(zhǎng)度L至少為多大時(shí)小物塊才不會(huì)滑出長(zhǎng)木板？

Answer 1

（1）由幾何關(guān)系可知，AB間的距離為R            (1分)

 

小物塊從A到B做自由落體運(yùn)動(dòng)，根據(jù)運(yùn)動(dòng)學(xué)公式有           ①  (2分)

 

代入數(shù)據(jù)解得v_B=4m/s，方向豎直向下                                                            (2分)

 

（2）設(shè)小物塊沿軌道切線方向的分速度為v_Bx，因OB連線與豎直方向的夾角為60°，故v_Bx=v_Bsin60°②      (2分)

 從B到C，只有重力做功，根據(jù)機(jī)械能守恒定律有

 

                                 ③          (2分)

 

代入數(shù)據(jù)解得m/s                                                                                 (1分)

 

在C點(diǎn)，根據(jù)牛頓第二定律有                    ④         (2分)

 

代入數(shù)據(jù)解得N                                                                                      (1分)

 

再根據(jù)牛頓第三定律可知小物塊到達(dá)C點(diǎn)時(shí)對(duì)軌道的壓力F_C=35N                     (1分)

 

（3）小物塊滑到長(zhǎng)木板上后，它們組成的系統(tǒng)在相互作用過程中總動(dòng)量守恒，減少的機(jī)械能轉(zhuǎn)化為內(nèi)能。當(dāng)物塊相對(duì)木板靜止于木板最右端時(shí)，對(duì)應(yīng)著物塊不滑出的木板最小長(zhǎng)度。根據(jù)動(dòng)量守恒定律和能量守恒定律有

mv_C=(m+M)v                                              ⑤                (2分)

 

                                   ⑥             (2分)

 

聯(lián)立⑤⑥式得                             ⑦

 

代入數(shù)據(jù)解得L=2.5m  (2分)