Question

(15分)如圖所示，質量為M＝2kg的木板B靜止在光滑水平面上，質量為m＝1kg可視為質點的木塊A以水平速度v₀＝2m/s從右端向左滑上木板，木塊與木板間的動摩擦因數為μ＝0.5，此時有一水平向右的力F＝10N作用在長木扳上，g取10m/s²。

⑴求開始時木塊A和木板B各自的加速度大小；
⑵若木板足夠長，求從木塊滑上木板到木塊和木板速度相等所經歷的時間；
⑶要使木塊不從木板上滑落，求木板的最小長度。

Answer 1

⑴a_A＝5m/s²，a_B＝2.5m/s²；⑵t＝0.8s；⑶Δx＝0.8m。

試題分析：⑴開始時，對木塊A，受重力mg、木板的支持力N_A和水平向右的滑動摩擦力f_A作用，根據牛頓第二定律可知，在水平方向上有：f_A＝ma_A       ①
在豎直方向上有：N_A－mg＝0         ②
根據滑動摩擦定律有：f_A＝μN_A          ③
由①②③式聯立解得：a_A＝μg＝5m/s²
對木板B，受水平向右的力F、重力Mg、地面的支持力N_B、木塊的壓力N_A′和水平向左的滑動摩擦力f_A′作用，根據牛頓第二定律可知，在水平方向上有：F－f_A′＝Ma_B         ④
根據牛頓第三定律有：f_A′＝f_A          ⑤
由②③④⑤式聯立解得：a_B＝＝2.5m/s²
⑵由⑴中分析可知，木塊開始在木板上向左做勻減速直線運動，設經時間t₁速度減為零，木板則向右做勻加速直線運動，根據勻變速直線運動規律可知，對A有：t₁＝＝0.4s       ⑥
此時，木塊在木板的摩擦力作用下，將開始向右做勻加速直線運動，設經過時間t₂與木板具有了相同速度v，根據勻變速直線運動規律可知，對A有：v＝a_At₂        ⑦
從木塊開始滑上木板到兩者具有相同速度的過程中，木板B的運動狀態不變，有：v＝a_B(t₁＋t₂)    ⑧
由⑥⑦⑧式聯立解得從木塊滑上木板到木塊和木板速度相等所經歷的時間為：t＝t₁＋t₂＝0.8s
⑶由⑵中分析可知，在t₁時間內，木塊A向左運動的位移為：x_A1＝＝0.4m
在t₂時間內，木塊A向右運動的位移為：x_A2＝＝0.4m
在整個t時間內，木板B向右運動的位移為：x_B＝＝0.8m
在整個t時間內，木塊A始終相對木板B向左運動，其相對位移為：Δx＝x_B＋x_A1－x_A2＝0.8m
因此要使木塊不從木板上滑落，木板的最小長度為：Δx＝0.8m